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Mathematica 画受力示意图

代码:

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g1 = Graphics[Line[{{0, 0}, {20, 0}}]];
g2 = Graphics[Line[{{0, 0}, {15, 15}}]];
g3 = Graphics[{Opacity[0.2], Blue,
Rotate[Rectangle[{8, 8}, {12, 12}], 45 Degree, {Left, Bottom}]}];
g4 = Graphics[{Blue, Thickness[0.01], Arrow[{{8, 10.8}, {8, 2.8}}]}];
g5 = Graphics[{Cyan, Thickness[0.01], Arrow[{{8, 10.8}, {3.8, 15}}]}];
g6 = Graphics[{Orange, Thickness[0.01],
Arrow[{{2.4, 5.2}, {6.6, 9.4}}]}];
g7 = Graphics[
Text[StyleForm["重力", FontSize -> 14, FontWeight -> "Bold"], {9,
6.8}, {0, 1}, {0, -1}]];
g8 = Graphics[
Text[StyleForm["支持力", FontSize -> 14, FontWeight -> "Bold"], {6,
13}, {0, -1}, {1, -1}]];
g9 = Graphics[
Text[StyleForm["摩擦力", FontSize -> 14, FontWeight -> "Bold"], {4.5,
7.2}, {0, 1}, {1, 1}]];
Show[g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7, g8, g9]

运行结果:

标量、矢量和笛卡尔张量的解析定义

设$(x_1,x_2,x_3)$和$(x'_1,x'_2,x'_3)$是两个固定的笛卡尔坐标系,二者之间的变换关系为:

\begin{equation} x'_i=\beta_{ij}x_j \label{x'x} \end{equation}

逆变换为:

\begin{equation} x_i=\beta_{ji}x'_j \label{xx'} \end{equation}

某量是标量、矢量还是笛卡尔张量,取决于该量的分量是如何用$x_1,x_2,x_3$来定义的,以及如何随坐标系变换而变换的。

标量只有一个分量,$\Phi(x_1,x_2,x_3)$,坐标系变换后,$\Phi(x_1,x_2,x_3)$变为$\Phi'(x'_1,x'_2,x'_3)$,有如下关系:

\begin{equation} \Phi(x_1,x_2,x_3)=\Phi'(x'_1,x'_2,x'_3) \label{scalar} \end{equation}

矢量,或一阶张量,有三个分量,$\xi_i$,坐标系变换后,$\xi_i(x_1,x_2,x_3)$变为$\xi'_i(x'_1,x'_2,x'_3)$,有如下关系:

\begin{equation} \begin{cases} \xi'_i(x'_1,x'_2,x'_3)=&\xi_i(x_1,x_2,x_3)\beta_{ik} \\ \xi_i(x'_1,x'_2,x'_3)=&\xi'_i(x_1,x_2,x_3)\beta_{ki} \end{cases} \label{vector} \end{equation}

推广到两个下标,这样的量有9个分量,称为二阶张量,满足如下关系:

\begin{equation} \begin{cases} t'_{ij}(x'_1,x'_2,x'_3)=&t_{mn}(x_1,x_2,x_3)\beta_{im}\beta_{jn} \\ t_{ij}(x_1,x_2,x_3)=&t'_{mn}(x'_1,x'_2,x'_3)\beta_{mi}\beta_{nj} \end{cases} \label{tensor} \end{equation}

可以进一步推广至更高阶张量。

这里张量的定义基于由一个笛卡儿直角坐标系转换到另一个笛卡儿直角坐标系,这样定义的张量称为笛卡儿张量。

带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动?

球或圆柱体等截面为圆形的物体沿斜面的运动,很多标准的教科书都有详尽的论述。球或圆柱体沿斜面运动,摩擦力是根本影响因素。但是,带有棱角的物体沿斜面的运动,却甚少有讨论。

我们现在讨论带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动。如图1所示。



图1 斜面上的物块的受力示意图。

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耶鲁基础物理6.4 做功与路径



设与一维空间类似,有这样一种情况成立,即某个力的线积分仅依赖于起点和终点。我们就像在一维空间那样,将这个积分所得的结果记为$U_1-U_2$。最终会得到

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.60}\tag{6.60} $$

要得到这个公式,这个关系一定成立吗?

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耶鲁基础物理6.3二维空间中力做功与矢量点乘



对于一维运动,动能$K=\frac{1}{2}mv^2$,对动能求导,得

$$ \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=mva=Fv=F\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \label{6.28}\tag{6.28} $$

两边可消去$\mathrm dt$,得

$$ \mathrm dK=F\mathrm dx \label{6.29}\tag{6.29} $$

两边积分,得

$$ \begin{align} K_2-K_1=&\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx \label{6.30}\tag{6.30} \\ =&U(x_1)-U(x_2)=U_1-U_2\label{6.31}\tag{6.31} \end{align} $$

整理得能量守恒定律:

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.32}\tag{6.32} $$

\eqref{6.31}、\eqref{6.32}两式成立的条件是力$F$只依赖于坐标$x$,与其他量,如速度$v$、加速度$a$等,无关。

现在,我们看看二维情形。

二维情况下,力和位移都是有两个分量的矢量,功的表达是什么样的?即如何将$\mathrm dW=F\mathrm dx$推广到二维?

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