美国《物理教师》（Physics Teachers）杂志研究过质点从球面顶部以初速度$v_0$下滑的问题，得到了下滑到不同位置处质点的速度，并指出，质点最终可能会脱离球面，也可能会停在球面上。发生这两种情形具体条件是什么？文章没有给出，我们探究一下这个问题。

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美国《物理教师》（Physics Teachers）杂志研究过质点从球面顶部以初速度$v_0$下滑的问题，得到了下滑到不同位置处质点的速度，并指出，质点最终可能会脱离球面，也可能会停在球面上。发生这两种情形具体条件是什么？文章没有给出，我们探究一下这个问题。

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现在，我们用微分运算来讨论一个具体例子。

某质点运动学方程如下：

\begin{equation}
\boldsymbol r(t)=R(\boldsymbol i\cos\omega t + \boldsymbol j\sin\omega t)
\label{2.47}\tag{2.47}
\end{equation}

其中，$R$和$\omega$是常数。

这个质点做什么运动？

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“东方红一号”，中国第一颗人造卫星

人造地球卫星绕地球作圆周运动, 由于受到空气摩擦阻力, 人造卫星速度是变大还是变小？轨道半径是变大还是变小？

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莱尼抱怨：“乔治，跳跃频闪的东西令我不爽。时间是蹦蹦跳跳而溜去的吗？我希望事情平滑而行。”

乔治思考片刻，擦掉黑板，“好的，莱尼，今天我们就学习平滑变化的系统。”

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1. 一质点沿$x$轴运动，运动学方程为$x=t^3-3t^2$，问在哪些时间间隔内沿x轴正方向运动，哪些时间间隔内沿x轴负方向运动，哪些时间间隔内质点加速运动，哪些时间间隔内质点减速运动？

2. 一质点运动学方程为$x=t^2$，$y=(t-1)^2$，x和y均以m为单位，时间t以秒为单位，求质点的运动轨迹，求在$t=2\mathrm s$时，质点的速度和加速度。

3. 一质点运动学方程为$\vec{r}=2t\vec{i}+(2-t^2)\vec{j}$，$\vec{r}$和时间t分别以m和s为单位。求从$t=0$到$t=1\mathrm s$时间间隔内质点的位移。$t=1\mathrm s$时质点的速度和加速度。求质点的轨迹方程。

4. 一质点沿x轴运动，加速度a与位置x的关系为$a=-2x$，求速度v与位置x的关系。

5. 一质点沿半径为的圆周运动，沿圆弧的自然坐标为$s$。运动学方程为$s=\pi t^2+\pi t$。求质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速度和平均速率。求第1秒末时的速度和加速度大小。

6. 一质点沿半径为$R=1\mathrm m$的圆周运动，用角坐标表示的运动学方程为$\theta=2+4t^3$，$\theta$的单位为rad，t但单位为s。求t=2s时，质点的加速度。何时质点加速度与半径夹角为45°？

7. 以质点在随时间变化的力$F=F_0(1-kt)$的作用下沿$x$轴运动，已知在$t=0$时刻，质点位于处$x_0=1\mathrm m$，速度$v_0=1\mathrm {m/s}$，求质点运动方程。

8. 以初速度$v_0$从地面竖直上抛一质量为$m$的小球，小球受空气黏滞阻力为$f=-\alpha mv^2$，$\alpha$为常数。请写出$\alpha$的量纲。当小球回到地面时，速度大小为多少？

大学物理教材中，对圆周运动的讨论，一般采用的是几何法。而教材在圆周运动之前，讲的是分析法，即对运动方程求导，来得到速度和加速度。因此，这里采用几何法，比较突兀（好处是直观）。

为了与前面章节内容呼应，这里用分析法处理圆周运动，以有助于学生掌握矢量和微积分的分析方法。

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