耶鲁基础物理4.5斜面



图4.3 物体位于斜面上。左图中无摩擦力,右图中有摩擦力。

斜面进入物理习题是物理学习噩梦的开始。但我们还是要讲斜面。为什么?成心给学生找罪受?

不是为了难为学生,是为成就学生,这是入门的门票,学懂这个,才可能学懂更高层次的内容。

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优化变分迭代法解Emden-Lane边值问题一例

参考文献:Eur. Phys. J. Plus (2017)132: 251

前一篇文章中,给出了Emden-Lane边值问题的变分迭代法。

Emden-Lane边值问题:

\begin{equation} \begin{split} & u''(x)+\frac{\alpha}{x}u'(x)=f(x,u) \\ & u'(0)=0, au(1)+bu'(1)=c \end{split} \label{Emden-Lane} \end{equation}

本文计算一下$\alpha=1$的Emden-Lane边值问题。

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Emden-Lane边值问题变分迭代法

参考文献:Eur. Phys. J. Plus (2017)132: 251

Emden-Lane边值问题:

\begin{equation} \begin{split} & u''(x)+\frac{\alpha}{x}u'(x)=f(x,u) \\ & u'(0)=0, au(1)+bu'(1)=c \end{split} \label{Emden-Lane} \end{equation}

根据变分迭代法,得校正泛函:

\begin{equation} u_{n+1}(x)=u_n(x)+\int_0^x\lambda(s)\left( u_n''(s)+\frac{\alpha}{s}u_n'(s)-f(s,\widetilde{u}_n) \right) \mathrm ds \label{correctionalfunc} \end{equation}

其中,$\widetilde{u}_n$为限制变分$\delta \widetilde{u}_n=0$。

下面求$\lambda(s)$。

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雪花图鉴



冬天的雪总给人们带来无尽的乐趣,这种乐趣还通过社交媒体,传递给更多的人。飞雪漫舞、银装素裹,雪花集体带给人无尽美的享受,其实,雪花个体的美也很令人震撼。你要是不信,下次下雪的时候,穿上你的雪地靴,带上放大镜,近距离观察飘落的雪花。你要是等不及,本文让你先睹为快。

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耶鲁基础物理4.1一道解过的例题

物理学的目标是能够根据当前已知的事情预测未来。我来举一个非常简单的例子,看看牛顿定律是如何实现这个目标的。



图4.1 质量为$m$的物体与劲度系数为$k$的弹簧相连,虚线表示这个物体偏离平衡位置$x$远处。

如图4.1所示,在光滑桌面上有一个质量为$m$的物体,与劲度系数为$k$的弹簧相连,弹簧的另一端固定于静止的墙上。虚线表示这个物体正位于距离平衡位置$x$远处。我把这个物体拖动一段距离$A$,然后释放。以上就是我们所知道的全部。这个物体会如何运动?

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