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勒让德多项式递推公式的证明
勒让德多项式用勒让德多项式展开
如上图，两个带电球 A 和 B，考虑较简单的情况，电荷只分布在球面上，且电荷分布关于 $z$ 轴对称。
球外电势
\begin{equation}
\varphi_0=\sum_{n=0}^{\infty}\left [a_n\left(\frac{r_p}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos\theta) + A_n\left(\frac{R_p}{R}\right)^{n+1}P_n(\cos\Theta)\right ]
\label{elecpot}
\end{equation}
式中两个勒让德多项式可以彼此展开：
\begin{equation}
R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta), r \lt S
\label{reexpansion1}
\end{equation}
\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kS^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^kP_k(\cos\Theta), R \lt S
\label{reexpansion2}
\end{equation}
上述再展开的证明，见 J. Electrost 36, 195，过程如下：
从罗巨格公式推导勒让德多项式的递推关系
球内温度分布
原文链接：Properties of Legendre Polynomials
半径为 $a$ 的球内定态温度分布为 $u(\vec{x})=u(r,\theta)$，满足拉普拉斯方程
\begin{equation}
\nabla^2u=0
\label{laplace}
\end{equation}
控制球表面上温度为
\begin{equation}
u(r=a,\theta)=f(\theta)
\label{boundary}
\end{equation}
球内温度如何分布？