噪声RC电路

如上图为RC电路，电阻阻值为$R$，电容器电容为$C$，接入一个电源，电源输出电压为高斯白噪声：

\begin{equation} \begin{split} \langle \xi(t)\rangle = &0\\ \langle \xi(t)\xi(t')\rangle = &2B\delta(t-t') \end{split} \label{noisesource} \end{equation}

下面分析一下这个电路。

电容器两端瞬时电压为$u(t)$，电路中瞬时电流为$i(t)=C\frac{du}{dt}$。对于电路，有

\begin{equation} u+RC\frac{du}{dt}=\xi(t) \label{circuiteq} \end{equation}

值得注意的一点，上式和描述布朗运动的郎之万方程在形式上类似。

解方程\eqref{circuiteq}，得

\begin{equation} u(t)=u(0)\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)+\frac{1}{RC}\int_0^t\exp\left(-\frac{t-t'}{RC}\right)\xi(t')dt' \label{u} \end{equation}

$u(t)$对噪声进行平均，

\begin{equation} \langle u(t) \rangle = u(0)\exp\left ( -\frac{t}{RC} \right ) \label{uav} \end{equation}

$u(t)$的长时间演化行为，由\eqref{u}式，得

\begin{equation} u(t)=\frac{1}{RC}\int_0^{\infty}\exp\left(-\frac{v}{RC}\right)\xi(t-v)dv \label{uinf} \end{equation}

$u(t)$在一个长时间段$\tau$内的时间关联函数为：

\begin{equation} \begin{split} \overline{ \langle u(t)u(t') \rangle }=&\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}\langle u(t+s)u(t'+s)\rangle ds\\ =&\int_0^{\infty}dv_1\int_0^{\infty}dv_2\exp\left(-\frac{v_1+v_2}{RC}\right)\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}ds\frac{1}{(RC)^2}\langle \xi(t+s-v_1)\xi(t+s-v_2)\rangle \\ =&\int_0^{\infty}dv_1\int_0^{\infty}dv_2\exp\left(-\frac{v_1+v_2}{RC}\right)\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}ds\frac{2B}{(RC)^2}\delta(t-v_1-t'+v_2)\\ =&\frac{2B}{(RC)^2}\exp\left(-\frac{|t-t'|}{RC}\right)\int_0^{\infty}dv_1\exp\left(-\frac{2v_1}{RC}\right)\\ =&\frac{B}{RC}\exp\left(-\frac{|t-t'|}{RC}\right) \end{split} \label{ucorr} \end{equation}

电容器两端接示波器，可验证上述结果。