牛顿第三定律的内容是：有1、2两个物体，2对1的作用力$\boldsymbol F_{12}$与1对2的作用力$\boldsymbol F_{12}$大小相等方向相反，即

\begin{equation} \boldsymbol F_{12}=-\boldsymbol F_{21} \label{3.9}\tag{3.9} \end{equation}

下面谈谈这个定律的应用。

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根据上图，三角形A占据了$13\times 5$个格，面积$32.5$，将三角形调整一下，得三角形B，占据的格数却少了一个，面积变成31.5。

下面的动图，可以看得更清楚：

问题出在哪里？

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我们回到弹簧。若伸长量为$x$，弹簧所施加的力$F(x)$有多大？这里x是相对于弹簧既不被压缩也不被拉伸的那个点测量出来的。如果$x$是正值，说明弹簧被拉伸，如果$x$是负值，说明弹簧被压缩。对于任何给定的$x$，可以测量出力$F(x)$对质量为$m$的物体的加速度，根据$F=ma$，可测量出相应的 $F(x)$。改变弹簧的伸长量，测量出一系列$F(x)$，可画出相应的曲线。当$x$比较小时，这条曲线将是斜率为$-k$的直线，即

\begin{equation} F=-kx \label{3.6}\tag{3.6} \end{equation}

其中，$k$叫做弹簧的劲度系数。负号是什么意思？

负号表明，如果向右拉伸弹簧，$x>0$，$F(x)<0$，表示弹簧所施加的力将向左，如果向左压缩弹簧，$x<0$，$F(x)>0$，弹簧所施加的力将向右。

图3.1 （左图）劲度系数为$k$的弹簧（虚线）一端系有质量为$m$的物体，另一端固定在墙上，物体的位移$x$是相对弹簧的平衡位置测量的。（右图）力$F(x)$随$x$变化的函数关系。

两个方程，$F=ma$和$F=-kx$，第一个表示牛顿定律，第二个表示什么？两个方程有何区别？

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牛顿肖像

今天是你生命中的一个重要的日子：你将学习牛顿定律。借助这个定律，你可以明白和解释大量的现象。海量的知识都可归结到三条定律之中。实在令人惊奇！

也许，你觉得：我中学已经学过牛顿定律了，而且会用。对于我来说，经历了生命中相当长的时间后，才意识到这些定律远远比 初次见到它们时所想象得要深奥得多。

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考虑这样一个运动，质点在$t=0$时刻的位置矢量和速度分别为$\boldsymbol r_0$和$\boldsymbol v_0$，加速度$\boldsymbol a$为常矢量。求质点的运动学方程。

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参考文献：MCM 2008,47,1035 The decomposition method for solving the coupled modified KdV equations

George Adomian (1922--1996)

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George Adomian (1922--1996)

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George Adomian (1922--1996)

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现在，我们用微分运算来讨论一个具体例子。

某质点运动学方程如下：

\begin{equation}
\boldsymbol r(t)=R(\boldsymbol i\cos\omega t + \boldsymbol j\sin\omega t)
\label{2.47}\tag{2.47}
\end{equation}

其中，$R$和$\omega$是常数。

这个质点做什么运动？

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图2.5 质点沿着一曲线路径运动，$t$时刻位于$\boldsymbol r$处，$t+\Delta t$时刻位于$\boldsymbol r+\Delta \boldsymbol r$处。速度$\boldsymbol v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol r}{d t }$，$\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t }$与$\Delta \boldsymbol r$平行，当$\Delta t \to 0$时，速度方向沿曲线切线方向。

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