耶鲁基础物理2.6圆周运动



现在,我们用微分运算来讨论一个具体例子。

某质点运动学方程如下:

\begin{equation}
\boldsymbol r(t)=R(\boldsymbol i\cos\omega t + \boldsymbol j\sin\omega t)
\label{2.47}\tag{2.47}
\end{equation}

其中,$R$和$\omega$是常数。

这个质点做什么运动?

来看看矢量长度的平方:

\begin{equation} r^2=r_x^2+r_y^2=R^2(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t)=R^2 \label{2.48}\tag{2.48} \end{equation}

这说明质点做圆周运动,半径为$R$。



图2.7 质点沿半径为$R$的圆做圆周运动,角速度为$\omega$。

质点运动如图2.7所示,位置矢量的$x$分量为$R\cos\omega t$,$y$分量为$R\sin\omega t$。$\omega t$是什么?

$\omega t$是位置矢量转过的角度。$\omega $是单位矢量在单位时间转过的角度,称为角速度,表示转动的快慢。

质点多长时间转一圈?

设质点每经过时间T转过一圈,有:

\begin{equation} \omega T=2\pi \label{2.49}\tag{2.49} \end{equation}

也即

\begin{equation} \omega =\frac{2\pi}{T}=2\pi f \label{2.50}\tag{2.50} \end{equation}

其中,$f=1/T$,为频率,即单位时间转过的圈数,单位是赫兹Hz。 质点转一圈,位置矢量转过$2\pi$的角度,而质点每秒转$f$圈,因此又称为角频率

质点运动得有多快?

质点位置矢量转过的角度随时间的变化率为$\omega$,我们可以推断出,质点速率恒定。我们下面计算一下质点的速度。如何计算?

对位置矢量求导:

\begin{align} \boldsymbol v(t)=&\frac{\mathrm d\boldsymbol r(t)}{\mathrm dt} \tag{2.51}\\ =&R(\boldsymbol i\frac{\mathrm d\cos\omega t}{\mathrm dt} + \boldsymbol j\frac{\mathrm d\sin\omega t}{\mathrm dt}) \tag{2.52} \\ =& R\omega(-\boldsymbol i\sin\omega t + \boldsymbol j\cos\omega t) \tag{2.53} \end{align}

在$t=0$时刻,质点速度$\boldsymbol v(t)=R\omega \boldsymbol j$,大小是$R\omega$,方向沿$y$轴正方向。

类似的,你可以计算图2.7上其他时刻的速度。

可以看出,速度方向一直在变化,但大小始终为$R\omega$,保持不变。从图2.7可以看出,速度的方向沿圆周的切向。

我们也可以证明,速度大小恒定:

\begin{equation} v^2=(R\omega)^2(\sin^2\omega t + \cos^2\omega t)=(R\omega)^2 \label{2.54}\tag{2.54} \end{equation}

\begin{equation} v=R\omega \label{2.55}\tag{2.55} \end{equation}

对速度求导,得加速度:

\begin{equation} \boldsymbol a(t)=-R\omega^2(\boldsymbol i\cos\omega t + \boldsymbol j\sin\omega t)=-\omega^2\boldsymbol r(t) \label{2.56}\tag{2.56} \end{equation}

\begin{equation} a(t)=\omega^2 R \label{2.57}\tag{2.57} \end{equation}

这里,可看出一个重要结论:当一个质点以恒定速率v沿半径为R的圆周做圆周运动时,加速度指向圆心,大小为

\begin{equation} a(t)=\omega^2 R=\frac{(\omega R)^2}{R}=\frac{v^2}{R} \label{2.58}\tag{2.58} \end{equation}

匀速圆周运动说明,速度是矢量,大小不变方向改变,速度就改变了,即有加速度。圆形赛道上的汽车,速度表上的读数不变,外行认为汽车没有加速度,其实是有$v^2/R$的加速度,尽管赛车手没踩油门也没刹车。

假设质点没有走过整个圆周,仅通过了1/4圆周,质点在这1/4圆周上运动时的加速度,与质点通过整个圆周时的加速度,是一样的,方向也是指向圆心。

实际上,不必运动了一周,才有$v^2/R$的加速度。只要质点的轨道为圆周一部分,加速度就是,并且加速度方向指向轨道所在圆周的圆心,公式中的$R$为轨道所在圆周的半径,$v$是瞬时切向速度。

标签: 圆周运动

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