阿多米安分解法解常微分方程组



George Adomian (1922--1996)

解法

一阶常微分方程组形式如下:

\begin{equation} \begin{cases} & u'_1+N_1(t,u_1,u_2,\cdots,u_n)=g_1(t) \\ & u'_2+N_2(t,u_1,u_2,\cdots,u_n)=g_2(t) \\ & \vdots \\ & u'_n+N_n(t,u_1,u_2,\cdots,u_n)=g_n(t) \end{cases} \label{eqs} \end{equation}

方程的形式解:

\begin{equation} u_i=u_i(0)+\int_0^t g_i(t)dt-\int_0^t N_i(t,u_1,u_2,\cdots,u_n)dt, i=1,2,\cdots,n \label{solform} \end{equation}

方程的解可表示为级数:

\begin{equation} u_i=\sum_{j=0}^{\infty}u_{i,j}, i=1,2,\cdots,n \label{solser} \end{equation}

\eqref{solform}式中的积分的被积函数可表示为:

\begin{equation} N_i(t,u_1,u_2,\cdots,u_n)=\sum_{j=0}^{\infty}A_{i,j}(u_{i,0},u_{i,1},\cdots,u_{i,j}), i=1,2,\cdots,n \label{Ado} \end{equation}

由\eqref{solform}、\eqref{solser}、\eqref{Ado}式,得:

\begin{equation} \sum_{j=0}^{\infty}u_{i,j}=u_i(0)+\int_0^t g_i(t)dt-\sum_{j=0}^{\infty}\int_0^t A_{i,j}(u_{i,0},u_{i,1},\cdots,u_{i,j})dt, i=1,2,\cdots,n \label{solserform} \end{equation}

\eqref{solser}式中各项满足递归关系:

\begin{equation} \begin{split} & u_{i,0}=u_i(0)+\int_0^t g_i(t)dt \\ & u_{i,m+1}=-\int_0^t A_{i,m}(u_{i,0},u_{i,1},\cdots,u_{i,m})dt \\ & i=1,2,\cdots,n; m=0,1, 2,\cdots, \end{split} \label{recursion} \end{equation}

算例

方程为:

\begin{equation} \begin{cases} & u'_1(t)=2u_2^2(t), u_1(0)=1 \\ & u'_2(t)=e^{-t}u_1(t), u_2(0)=1 \\ & u'_3(t)=u_2(t)+u_3(t), u_3(0)=0 \end{cases} \label{exeqs} \end{equation}

方程的级数解:

\begin{equation} \begin{split} \sum_{j=0}^{\infty}u_{1,j}=&1+2\sum_{j=0}^{\infty}\int_0^t A_{2,j}(u_{i,0},u_{i,1},\cdots,u_{i,j})ds \\ \sum_{j=0}^{\infty}u_{2,j}=&1+\int_0^t e^{-s}u_1(s)ds \\ \sum_{j=0}^{\infty}u_{3,j}=&\int_0^t [u_2(s)+u_3(s)]ds \end{split} \label{exsolserform} \end{equation}

其中,$A_{2,j}$是$u_2^2$的阿多米安多项式。

级数解0阶项:

\begin{equation} \begin{split} u_{1,0}=&1 \\ u_{2,0}=&1 \\ u_{3,0}=&0 \end{split} \label{exsolser0} \end{equation}

级数解1阶项:

\begin{equation} \begin{split} u_{1,1}=&2\int_0^t A_{2,0}dt =2\int_0^t u_{2,0}^2dt=2t \\ u_{2,1}=&\int_0^t e^{-s}u_{1,0}(s)ds= 1-e^{-t} \\ u_{3,1}=&\int_0^t [u_{2,0}(s)+u_{3,0}(s)]ds=t \end{split} \label{exsolser1} \end{equation}

级数解2阶项:

\begin{equation} \begin{split} u_{1,2}=&2\int_0^t A_{2,1}dt =2\int_0^t 2u_{2,0}u_{2,1}dt=4(t+e^{-t}-1) \\ u_{2,2}=&\int_0^t e^{-s}u_{1,1}(s)ds= -2te^{-t}-2e^{-t}+2 \\ u_{3,2}=&\int_0^t [u_{2,1}(s)+u_{3,1}(s)]ds=t+e^{-t}+\frac{1}{2}t^2-1 \end{split} \label{exsolser2} \end{equation}

方程的近似解为:

\begin{equation} \begin{split} u_1=&2\int_0^t A_{2,1}dt =6t+4e^{-t}-3 \\ u_2=&\int_0^t e^{-s}u_{1,1}(s)ds= -2te^{-t}-3e^{-t}+4\\ u_3=&\int_0^t [u_{2,1}(s)+u_{3,1}(s)]ds=2t+e^{-t}+\frac{1}{2}t^2-1 \end{split} \label{exsol} \end{equation}

标签: 阿多米安分解法

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