狄拉克δ函数的导数

原文见 Physics Pages

狄拉克δ函数的图像像个钉子,如下图所示,谈论他的导数好像比较奇怪。


δ函数

我们从狄拉克δ函数的积分性质开始它的导数。狄拉克δ函数具有如下性质:

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\mathrm dx=f(0) \tag{1}\label{eq1} \end{equation}

狄拉克δ函数的$n$阶导数为$\delta^{(n)}(x)$,做如下分部积分

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=f(x)\delta^{(n-1)}(x)\big\lvert_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
\tag{2}\label{eq2}
\end{equation}

第一项是0,因为狄拉克δ函数在$x\neq 0$的地方是常数0,因此导数也为0。于是我们有

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
\tag{3}\label{eq3}
\end{equation}

上式对任意函数$f(x)$都成立,因此两边被积函数相等,

\begin{equation}
f(x)\delta^{(n)}(x) =- f'(x)\delta^{(n-1)}(x)
\tag{4}\label{eq4}
\end{equation}

对于一阶导数有

\begin{equation}
f(x)\delta'(x) =- f'(x)\delta(x)
\tag{5}\label{eq5}
\end{equation}

如果$f(x)=x$,有

\begin{equation}
x\delta'(x) =- \delta(x)
\tag{6}\label{eq6}
\end{equation}

将\eqref{eq4}迭代下去,得

\begin{equation}
f(x)\delta^{(n)}(x) =(-1)^n \delta(x)\prod_{k=1}^nf^{(k)}(x)
\tag{7}\label{eq7}
\end{equation}

例1 令$f(x)=4x^2-1$,有

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} (4x^2-1)\delta'(x-3)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} 8x\delta(x-3)\mathrm dx=-24
\tag{8}\label{eq8}
\end{equation}

例2 令$f(x)=x^n$,由\eqref{eq7}式有

\begin{equation}
x^n\delta^{(n)}(x) =(-1)^n n!\delta(x)
\tag{9}\label{eq9}
\end{equation}

标签: 狄拉克δ函数, 导数, 分部积分

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