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Essential University Physics 21.5 任意电荷分布的电场

21.5 任意电荷分布的电场

尽管高斯定理是普遍成立的,但是只能用于具有特殊对称性的体系求电场。然而,一般的电荷分布是达不到那样的对称性要求的。替代方法,库仑定律也只能用于比较简单的情况。但是,我们从本章和前一章已经算过的电场分布中还是可以洞察到很多东西的。图21.19总结了4种电场。对于后三种,电场,注意维度与电场的简单关系。平面是二维的,带电平面的电场不随场点到带电平面的距离而变。直线是一维的,无限长带电直线的电场随场点到带电线的距离$r$按$1/r$的关系减小。点是0维的,点电荷的电场按$1/r$的关系减小。某种程度上说,电偶极子是这种趋势的延续。电偶极子由两个等量异号电荷组成,其效应几乎互相抵消,不奇怪电偶极子的电场随距离减弱得更快,按$1/r^3$的方式减小。更高一层级的电荷分布,两个电偶极子组成的电四极子,电场随距离减弱得更快,因为两个电偶极子几乎互相抵消。如此等等。科学家和工程师应用这种分层级的电荷分布模拟从分子到无线电天线的电结构。



图21.19 电偶极子、点电荷、带电线、带电平面的电场

概念理解:带电圆盘
草画均匀带电圆盘的电场线,从带电圆盘开始,延续几个圆盘直径远。

定性理解:在圆盘附近靠近圆盘中心处,圆盘看起来是很大的带电平面,电场类似无限大带电平面的电场,所以我们画几条与圆盘垂直的直的电场线从圆盘发出。距圆盘比较远处,电场类似点电荷电场,所以我们要把电场线画得沿径向延续。距圆盘不远不近处,我们不知道电场的精确形式,尽力凭感觉画。结果如图21.20所示。



图21.20 带电圆盘的电场

Essential University Physics 21.4 高斯定理的应用

21.4 高斯定理的应用

高斯定理是关于电场的普适规律,适用于任何闭合曲面和任何电荷分布。对于具有高度对称性的电荷分布——球对称、柱对称和面对称——高斯定理可以比库仑定律更方便地计算电场。对于具有高度对称性的电荷分布,不需要知道电场分布,就可以计算出电通量。然后,我们就可以用闭合曲内部的净电荷数表述电场$E$了。下面我们先介绍一下将高斯定理应用于对称电荷分布的一般策略,然后举例,应用高斯定理分别计算三种对称性的电荷分布的电场。

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Essential University Physics 21.3 高斯定理

21.3 高斯定理

前一节,我们知道从任意闭合曲面穿出的电场线数目正比于该闭合曲面所包围的净电荷数,并引入电通量的概念,对“电场线数目”给出严格的数学描述。由此,我们可以说:穿过任意闭合曲面的电通量正比于该闭合曲面所包围的净电荷。写成数学形式为$\Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}\propto q_{内} $,这里积分符号上的圈表示对闭合曲面积分。



图21.7 一点电荷被以自身为球心的球面包围

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Essential University Physics 21.2 电通量和电场

21.2 电通量和电场

我们用多个曲面将图21.3中的电荷分布包围起来,如图21.4所示。每个曲面都是闭合曲面,不穿过曲面是不可能从曲面内部跑到曲面外部的。(图21.4中只显示了每个曲面的二维截面)从每个曲面分别穿出多少条电场线?

在图21.4a中,很明显,从曲面1和2穿出的电场线数目是8条。对于曲面3,1条电场线穿出2次,穿入1次。如果将穿入记为负的穿出,则从曲面3穿出的电场线数目依然为8条。对于包围$+q$的任意闭合曲面,从其内穿出的电场线数目总是8。原因很简单,电荷发出的8条电场线连续地延伸至无限远处,中间必然要穿过闭合曲面。

下面我们看曲面4。两条电场线穿入曲面内部,两条电场线从曲面穿出,所以净穿出的电场线数目是0。与曲面1、2、3不一样,曲面4没有包围电荷。易推知,对于没有包围电荷的曲面,从其内穿出的电场线数目是0。



图21.4 6种电荷分布的电场线,约定$q$的电量对应8条电场线。

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Essential University Physics 20.4 电荷分布的电场

20.4 电荷分布的电场

既然电场力满足叠加原理,那么电场也满足叠加原理。一个电荷分布的电场是各点电荷单独存在时的电场的矢量和。

\begin{equation}
\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3+\cdots=\sum_i\vec{E}_i=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^2}\hat{r}_i \quad (电场满足叠加原理)
\tag{20.4}\label{20.4}
\end{equation}

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