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勒让德多项式用勒让德多项式展开

J. Electrost. 45, 123

如上图,两个带电球 A 和 B,考虑较简单的情况,电荷只分布在球面上,且电荷分布关于 $z$ 轴对称。

球外电势

\begin{equation}
\varphi_0=\sum_{n=0}^{\infty}\left [a_n\left(\frac{r_p}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos\theta) + A_n\left(\frac{R_p}{R}\right)^{n+1}P_n(\cos\Theta)\right ]
\label{elecpot}
\end{equation}

式中两个勒让德多项式可以彼此展开:

\begin{equation}
R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta), r \lt S
\label{reexpansion1}
\end{equation}

\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kS^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^kP_k(\cos\Theta), R \lt S
\label{reexpansion2}
\end{equation}

上述再展开的证明,见 J. Electrost 36, 195,过程如下:

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两个状态方程,哪个更合理?

《现代统计力学导论》第一章练习 1.1, 1.2

1.1 列出一些两种能量流动形式的熟悉例子(例如,冰融化的两种方式——搅拌或太阳晒)。

解答:
冬天暖手:搓手或捧热水杯。
热水器:电热水器或燃气热水器

1.2 一根橡皮带的状态方程是

\begin{equation*} S=L_0\gamma \left( \frac{\theta E}{L_0} \right)^{1/2} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

\begin{equation*} S=L_0\gamma e^{\theta nE/L_0} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

其中 $\gamma$、$l_0$、$\theta$ 都是常数,$n$ 是物质的量,$L$ 是橡皮带的长度,$S$ 是熵,$E$ 是能量。问上面两个方程哪个更符合实际?为什么?对于所选的状态方程,导出张力 $f$ 对温度 $T$ 和 $L/n$ 的依赖关系,即确定 $f(T,L/n)$。

解答:

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Essential University Physics 23.4 电场中的能量

带电电容器和不带电电容器有何不同?不在总电量,都是零,但是电荷排布方式不同。电容器里存储的能量正是来自电荷排布。电容器里存储的能量到底是什么能量?我们对于第23.1节中的图23.1中的三角形电荷分布也可以问同样的问题。单个电荷并没有变化,变化的是电荷的排布方式。排布带来能量,能量来自哪里?

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热力学中两个常用偏导关系的证明

三个变量 $A$、$B$、$C$,任意一个变量都是其他两个变量的可微函数,证明如下关系:

  1. $\left (\frac{\partial A}{\partial B} \right)_C\left (\frac{\partial B}{\partial C} \right)_A\left (\frac{\partial C}{\partial A} \right)_B=-1$

  2. $\left (\frac{\partial A}{\partial C} \right)_B=1\bigg/\left (\frac{\partial C}{\partial A} \right)_B$

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熵增动力学

设 $P(C,t)$ 为体系在 $t$ 时刻居于构型 $C$ 的概率,则含时熵可定义为

\begin{equation}
S(t)=-\sum_C P(C,t)\ln P(C,t)
\label{entropy}
\end{equation}

对时间求导,

\begin{equation} \begin{split} \frac{d S(t)}{dt}=&-\sum_C \frac{d P}{dt}(C,t)\ln P(C,t)-\sum_C \frac{d P}{dt}(C,t)\\ \\ =&-\sum_C \frac{d P}{dt}(C,t)\ln P(C,t) \end{split} \label{dentropy} \end{equation}

第一个等号右边第二项消失,因为归一化条件 $\sum_C P(C,t)=1$。

主方程代入 \eqref{dentropy}式,有

\begin{equation} \begin{split} \frac{d S(t)}{dt} =&-\sum_C \ln P(C,t)\sum_{C'(\neq C)}\left [-W(C'|C)P(C,t) + W(C|C')P(C',t) \right ]\\ \\ =&\sum_{C,C'(C\neq C')}\ln P(C,t)\left [W(C'|C)P(C,t) - W(C|C')P(C',t) \right ]\\ \\ =&\sum_{C,C'(C\neq C')}\ln P(C',t)\left [W(C|C')P(C',t) - W(C'|C)P(C,t) \right ] \end{split} \label{dentropym} \end{equation}

上式第二个等号右边,交换求和指标 $C$ 和 $C'$,得最后一个等号。将第二个和最后一个等号右边的式子相加,并利用细致平衡条件,$W(C'|C)=W(C|C')$,得

\begin{equation}
\frac{d S(t)}{dt} = \frac{1}{2}\sum_{C,C'(C\neq C')}\left [ \ln P(C',t)-\ln P(C,t)\right ]\left [ P(C',t)- P(C,t)\right ]W(C'|C)
\label{dentropyf}
\end{equation}

上式中 $\ln P(C',t)-\ln P(C,t)$ 与 $P(C',t)- P(C,t)$ 同号,因此

\begin{equation}
\frac{d S(t)}{dt} \ge 0
\label{2ndlaw}
\end{equation}

此正是用随机过程表述的热力学第二定律。

对于定态,$dS/dt=0$,对各构型对 $(C,C')$,至少满足 $P_{\mathrm{st}}(C)=P_{\mathrm{st}}(C')$ 或 $W(C'|C)=0$ 之一。这里 $P_{\mathrm{st}}(C)$ 为定态概率分布。 $P_{\mathrm{st}}(C)=P_{\mathrm{st}}(C')$ 说的正是等概率原理。