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系绳球运动



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《伯克利物理学教程·力学》第6章习题12:

系绳球游戏的要求,游戏者要尽量快速地猛力击球,使拴在竖直柱上的绳沿一个方向缠绕在柱上,而让对手来不及使绳沿相反方向缠绕。这个游戏十分激烈,球的运动学分析也非常复杂。让我们考虑一种简化了的运动:游戏者一击之后,给球一个初速率$v_0$,随着绳在柱上缠绕,球在水平面上做螺旋运动,其半径不断减小。设绳长为$l$,柱半径$a\ll l$。
(a) 瞬时转动中心在哪里?
(b) 绕通过柱中心的轴是否有力矩?角动量是否守恒?
(c) 设动能守恒,球转了5整圈之后,角速度是多少?



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质点-哑铃碰撞



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《伯克利物理学教程·力学》第6章习题11:

有两个质量同为$M$的物体,由质量可忽略不计的长度为$a$的刚性杆连接在一起。这个哑铃形系统的质心静止在无重力的空间中,但整个系统以角速度$\omega$绕质心转动。转动着的两个物体中,其中一个与第三个质量为$M$的质点发生正碰,碰后粘在一起。(a)求碰撞前一瞬间三质点系统的质心位置,并求出质心的速度。注意:这一点速度并不是刚性杆上与质心重合的那一点的速度。(b)碰撞前一瞬间,这个三质点系统对质心的角动量是多少?碰撞后一瞬间,角动量又是多少?(c)碰撞后,系统绕质心的角速度是多少?(d)初、末态动能各是多少。

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长链落体



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《伯克利物理学教程·力学》第6章习题8:

一条质量为$m$,长度为$l$的链子在桌子的边缘上盘在一起。链子的一端有极小的一段长度被推出桌子边缘,在重力作用下开始下落,并把越来越多的链子从桌面拉出来。假定链子在未被拉入运动前速度一直保持为零,知识突然一下以下落部分的速度开始运动。请求出链子下落段长度为$x$时的速度。当链子全部长度$l$刚好离开桌子一刹那,原来的势能有多大部分转化为链子的动能?

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摩擦对于卫星运动的影响



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《伯克利物理学教程·力学》第6章习题2:

大气摩擦对于在圆(或接近圆)轨道上的卫星的运动有什么影响?为什么摩擦会增大卫星的速度?摩擦会增大或减小卫星相对于地球中心的角动量吗?为什么?

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质心参考系中处理两个粒子的弹性碰撞



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本文内容整理自《伯克利物理学教程·力学》。

考虑两个粒子弹性碰撞问题。两个粒子质量分别为$M_1$和$M_2$,$M_1$与$M_2$碰撞,碰撞之后,$M_1$运动方向相对于原运动方向偏转一个角度$\theta_1$(也称散射角)。我们求一下$\theta_1$的取值范围。

不失一般性,选定一个这样的参考系(实验室参考系),碰撞之前$M_2$静止于这个参考系。$M_1$以速度$\vec{v}_1$与$M_2$碰撞,碰撞之后,两粒子速度分别为$\vec{v}'_1$和$\vec{v}'_2$,与$\vec{v}_1$的夹角分别为$\theta_1$和$\theta_2$。



实验室参考系

碰撞过程在一个平面内进行,在此平面内,我们可以以$\vec{v}_1$方向为$x$轴正方向,垂直于$x$轴建立$y$轴。

根据动量守恒定律有

\begin{equation} M_1v_1=M_1v'_1\cos\theta_1+M_2v'_2\cos\theta_2 \label{momentumconsx} \end{equation}

\begin{equation} 0=M_1v'_1\sin\theta_1+M_2v'_2\sin\theta_2 \label{momentumconsy} \end{equation}

根据机械能守恒,有

\begin{equation} \frac{1}{2}M_1v_1^2=\frac{1}{2}M_1{v'}_1^2 + \frac{1}{2}M_2{v'}_2^2 \label{energycons} \end{equation}

由以上三式就可求出我们感兴趣的任何量,不过会很繁琐,比如求$\theta_1$的取值范围。

但是,在质心参考系中会就会简洁得多,而且更有启发性。

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