耶鲁基础物理2.5位置矢量$\boldsymbol r$的导数



图2.5 质点沿着一曲线路径运动,$t$时刻位于$\boldsymbol r$处,$t+\Delta t$时刻位于$\boldsymbol r+\Delta \boldsymbol r$处。速度$\boldsymbol v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol r}{d t }$,$\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t }$与$\Delta \boldsymbol r$平行,当$\Delta t \to 0$时,速度方向沿曲线切线方向。

如图2.5所示,某质点在$x-y$平面内运动,$t$时刻位置矢量为$\boldsymbol r$:

\begin{equation} \boldsymbol r = x(t)\boldsymbol i + y(t)\boldsymbol j \label{2.36}\tag{2.36} \end{equation}

$t+\Delta t$时刻,位置矢量变为$\boldsymbol r+\Delta \boldsymbol r$:

\begin{equation} \boldsymbol r +\Delta \boldsymbol r = [x(t)+\Delta x]\boldsymbol i + [y(t)+\Delta y]\boldsymbol j \label{2.37}\tag{2.37} \end{equation}

所以,位移为

\begin{equation} \Delta \boldsymbol r = \Delta x \boldsymbol i + \Delta y \boldsymbol j \label{2.38}\tag{2.38} \end{equation}

类似一维运动,速度和加速度分别由下式得到

\begin{equation} \begin{split} \boldsymbol v =& \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol r}{d t } = \frac{dx}{dt} \boldsymbol i + \frac{dy}{dt} \boldsymbol j \\ \boldsymbol a =& \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol v}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol v}{d t } = \frac{d^2 \boldsymbol r}{d t } = \frac{d^2x}{dt^2} \boldsymbol i + \frac{d^2y}{dt^2} \boldsymbol j \end{split} \label{2.39}\tag{2.39} \end{equation}

如果仅沿
$x$轴运动,经过时间$\Delta t$,运动位移为$\Delta x$,两者的比值在极限下就给出了速度。在平面上运动时,位置和位置的增量都是矢量。

你能看出来矢量的导数为什么还是矢量吗?

因为,$\Delta \boldsymbol r$是两个时刻的位置矢量之差,本身是矢量,除以$\Delta t$,相当于乘以$1/\Delta t$,我们知道,一个矢量与数相乘,只是调整大小,因此,$\Delta \boldsymbol r/\Delta t$是个矢量,取极限后依然是矢量,称为瞬时速度矢量。瞬时速度矢量与$\boldsymbol r(t)$曲线相切,指向此时的运动方向。

如果已知质点的位置随时间变化的函数关系,求导就可以得到速度了。假如,质点位置与时间$t$关系如下:

\begin{equation} \boldsymbol r = t^2 \boldsymbol i + 9t^3 \boldsymbol j \label{2.40}\tag{2.40} \end{equation}

则速度为:

\begin{equation} \boldsymbol v = 2t \boldsymbol i + 27t^2 \boldsymbol j \label{2.41}\tag{2.41} \end{equation}

对速度求导,也即对位置求二阶导,可得加速度:

\begin{equation} \boldsymbol a = 2 \boldsymbol i + 54t \boldsymbol j \label{2.42}\tag{2.42} \end{equation}

你把$\boldsymbol a$与质量$m$相乘,注意,质量$m$是与旋转操作无关的物理量,即是标量,因此,$m\boldsymbol a$是矢量,在牛顿力学中,$m\boldsymbol a$等于另一个矢量$\boldsymbol F$,即力。

以上,以上讨论不限于位置矢量$\boldsymbol r$,对于矢量,有一般性结论:矢量对标量(如时间)的导数是矢量,导数的导数依然是矢量。矢量乘以标量(如质量)仍是矢量。

下面举例说明一下矢量的加法和微分。



图2.6 球相对于地面(某个原点)的位置矢量$\boldsymbol r_{\mathrm{bg}}$等于球相对于飞机(机尾)的位置矢量$\boldsymbol r_{\mathrm{bp}}$与飞机(机尾)相对于地面(某个原点)的位置矢量$\boldsymbol r_{\mathrm{pg}}$的和。

如图2.6所示,一架飞机在飞行。设$\boldsymbol r_{\mathrm{pg}}$为飞机上某个定点——例如机尾——相对于地面上某定点的位置矢量。飞机上有个球,相对于飞机上那个定点的位置为$\boldsymbol r_{\mathrm{bp}}$,根据矢量加法,球相对于地面的位置矢量为:

\begin{equation} \boldsymbol r_{\mathrm{bg}} = \boldsymbol r_{\mathrm{bp}} + \boldsymbol r_{\mathrm{pg}} \label{2.43}\tag{2.43} \end{equation}

对时间求导,如下速度合成法则:

\begin{equation} \boldsymbol v_{\mathrm{bg}} = \boldsymbol v_{\mathrm{bp}} + \boldsymbol v_{\mathrm{pg}} \label{2.44}\tag{2.44} \end{equation}

这表明,地面上观察到的这个球的速度等于球相对于飞机的速度与飞机相对于地面的速度的矢量和。

继续求导,得加速度之间的关系:

\begin{equation} \boldsymbol a_{\mathrm{bg}} = \boldsymbol a_{\mathrm{bp}} + \boldsymbol a_{\mathrm{pg}} \label{2.45}\tag{2.45} \end{equation}

如果飞机做匀速运动,即$\boldsymbol a_{\mathrm{pg}} =0$,那么得:

\begin{equation} \boldsymbol a_{\mathrm{bg}} = \boldsymbol a_{\mathrm{bp}} \label{2.46}\tag{2.46} \end{equation}

这表明,在飞机做匀速运动这种特殊情况下,地面上观察到的加速度与飞机上观察到的加速度相同。我们后面学习相对论时,还会回到这个结果。

标签: 矢量

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