大学物理圆周运动的分析法处理

大学物理教材中，对圆周运动的讨论，一般采用的是几何法。而教材在圆周运动之前，讲的是分析法，即对运动方程求导，来得到速度和加速度。因此，这里采用几何法，比较突兀（好处是直观）。

为了与前面章节内容呼应，这里用分析法处理圆周运动，以有助于学生掌握矢量和微积分的分析方法。

圆周运动方程和轨迹

某时刻$t$，质点极坐标为$(r,\theta)$，平面直角坐标为$(x,y)$，两坐标之间的对应关系正是运动方程：

\begin{equation} \begin{cases} x(t) &= r\cos\theta(t) \\ y(t) &= r\sin\theta(t) \end{cases} \tag{1}\label{keqxy} \end{equation}

写成位置矢量形式：

\begin{equation} \vec{r}(t)= r\cos\theta(t) \hat{i}+r\sin\theta(t) \hat{j} \tag{2}\label{keqr} \end{equation}

轨迹为

\begin{equation} x^2+y^2=r^2 \tag{3}\label{tr} \end{equation}

速度方向与圆周相切

\begin{equation} \begin{split} \frac{\mathrm d }{\mathrm dt}[\vec{r}(t)\cdot \vec{r}(t)]&= \frac{\mathrm d \vec{r}(t)}{\mathrm dt}\cdot \vec{r}(t)+\vec{r}(t) \cdot \frac{\mathrm d \vec{r}(t)}{\mathrm dt} \\ &= 2\vec{r}(t) \cdot \frac{\mathrm d \vec{r}(t)}{\mathrm dt}=2\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t) \\ &=\frac{\mathrm d r^2}{\mathrm dt} =0 \end{split} \tag{4}\label{rvtan} \end{equation}

即 $\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t)=0$，即速度和位置矢量垂直，而位置矢量沿径向，因此速度和圆周相切。

匀速圆周运动的加速度

匀速圆周运动要求角速度 $\omega = \frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}$ 为常数，因此 $\theta (t)=\omega t$，于是运动方程为

\begin{equation} \vec{r}(t)= r\cos\omega t \hat{i}+r\sin\omega t \hat{j} \tag{5}\label{kequ} \end{equation}

求导得速度为

\begin{equation} \vec{v}(t)=\frac{\mathrm d\vec{r}}{\mathrm dt}= -r\omega\sin\omega t \hat{i}+r\omega\cos\omega t \hat{j} \tag{6}\label{vu} \end{equation}

可见，速率为

\begin{equation} v=\omega r \tag{7}\label{speedu} \end{equation}

对速度求导得加速度为

\begin{equation} \begin{split} \vec{a}(t)&=\frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}= -r\omega^2\cos\omega t \hat{i}-r\omega^2\sin\omega t \hat{j} \\ \\ &=-\omega^2(r\cos\omega t \hat{i}+r\sin\omega t \hat{j})\\ &=-\omega^2\vec{r}(t)=-\frac{v^2}{r}\hat{r}=\frac{v^2}{r}\hat{n} \end{split} \tag{8}\label{accu} \end{equation}

可见，加速度方向沿径向指向圆心（即圆周法向$\hat{n}$），大小为

\begin{equation} a=a_n=\omega^2 r = \frac{v^2}{r} \tag{9}\label{acc} \end{equation}

变速圆周运动

变速圆周运动角加速度为 $\alpha=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2}$。

对位置矢量\eqref{keqr}求导，得速度为

\begin{equation} \begin{split} \vec{v}(t)=&\frac{\mathrm d\vec{r}}{\mathrm dt}= -r\sin\theta \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t} \hat{i}+r\cos\theta \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t} \hat{j} \\ =&-\omega y \hat{i} + \omega x \hat{j} \end{split} \tag{10}\label{vnu} \end{equation}

可见，速度大小为

\begin{equation} v=\omega r \tag{11}\label{speednu} \end{equation}

对上式求导，有

\begin{equation} \frac{\mathrm dv}{\mathrm d t}=r\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=r\alpha \tag{12}\label{dut} \end{equation}

对速度\eqref{vnu}求导，得加速度

\begin{equation} \begin{split} \vec{a}=&\frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}\\ =&\left [-r\cos\theta \left ( \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t} \right )^2 -r\sin\theta \frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2} \right ]\hat{i}+\\ &\left [-r\sin\theta \left ( \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t} \right )^2 +r\cos\theta \frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2} \right ]\hat{j} \\ =& (-\omega^2x-\alpha y)\hat{i}+(-\omega^2y+\alpha x)\hat{j} \\ =& a_x\hat{i}+a_y\hat{j} \end{split} \tag{13}\label{axy} \end{equation}

加速度法向分量：

\begin{equation} \begin{split} a_n=&-\frac{\vec{a}\cdot\vec{r}}{r}=-\frac{a_xx+a_yy}{r}=\frac{\omega^2(x^2+y^2)}{r}\\ =&\omega^2r=\frac{v^2}{r} \end{split} \tag{14}\label{an} \end{equation}

加速度切向分量：

\begin{equation} \begin{split} a_t=&\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}=\frac{a_xv_x+a_yv_y}{v}\\ =&\frac{\alpha \omega (x^2+y^2)}{\omega r}\\ =&\alpha r =\frac{\mathrm dv}{\mathrm d t} \end{split} \tag{15}\label{at} \end{equation}

加速度为

\begin{equation} \vec{a}(t)=a_n\hat{n}+a_t\hat{t}=\frac{v^2}{r}\hat{n}+\frac{\mathrm dv}{\mathrm d t}\hat{t} \tag{16}\label{ant} \end{equation}