续谈随机行走

接着前一篇博客文章《随机行走》,谈随机行走与生活,二维和三维随机行走,偏倚随机行走。

原文链接:More About Random Walks

随机行走与生活有什么关系?

哎呦,前面讲的都是数学。随机行走与现实生活有什么关系?随机行走及其数学在自然界随处可见。你房间内的气体分子互相碰来碰去,每次碰撞都改变一次运动方向,要确定分子从一处运动到另一处需多长时间,就要用到随机行走的数学知识。食用色素滴到水里,会逐渐扩展开去,背后的原因,部分是水的流动,还有部分原因正是随机行走。


空气分子


食用色素

二维和三维随机行走

一维随机行走比较容易懂,但是二维和三维随机行走就要难懂一点。二维无规行走就是物体能在平面内随意走动,三维随机行走就是物体能在三维空间内随意走动,比如房间内的空气分子就是在做三维随机行走。我们这里不用数学,直接告诉你结果,与一维情况类似,物体做二维或三维随机行走,走过$N$步后到出发点距离约为$\sqrt{N}$。

变步长随机行走

前面的推导中,步长是无量纲量,取为1。而在实际情况中,步长具有长度的量纲,并且是可变的。假设随机行走步长可变,设为$r$,平均步长为中$\langle r\rangle$,则走过的方均根距离为$\sqrt{\langle d^2\rangle}=\langle r\rangle\sqrt{N}$。

现在我们对随机行走的有了稍多的了解,我们再看看前面的gif图。图里展示的是7个黑点的二维随机行走。7个黑点从同一个点同时出发进行随机行走。注意到,每一步的步长并不相等。最后,有些点的终点在出发点的上面,有些点的终点在出发点的下面,有些点停在左边,有些点停在右边。有些点跑的远,有些点跑得近。


7个黑点的二维随机行走

有些随机行走不完全随机

我们前面考虑的随机行走,物体向任意方向走的概率都相等。但是不是所有随机行走都符合这条规则。偏倚无规行走就是偏向某个方向走的随机行走,最后会在此方向上有净的漂移。

随机行走有偏倚的方式有很多。我们再回到一维随机行走,可以有以下方法使随机行走有偏倚:

  • 物体向左或向右的概率不相等,比如可以使物体向右的概率更大。
  • 物体向左或向右的概率保持相等,但是向左或向右的步长不等,比如向右走,一次走2格,而向左一次只走1格。

在以上两种情况,物体都会向右有净的漂移,即随机行走为右偏随机行走。下图所示为二维偏倚随机行走。你能猜出偏倚的可能机制是前面两种机制中的哪一种吗?

标签: 随机行走, 偏倚随机行走, biased random walk

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