位移电流和麦克斯韦方程组

将安培环路定理用到非稳恒电流上，会有问题。

位移电流

我们回到安培环路定理：

\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}= \mu_0 I \end{equation*}

方程右边的电流是积分回路包围的电流。什么是包围？电流会穿过以积分回路为边界的任意一个曲面。

图1 安培环路定理应用于正充电的电容器

我们现在把安培环路定理用到非稳恒电流上，比如电容器充电的电路。我们会发现有问题。如图1所示，考虑两个曲面$S_1$和$S_2$，它们有共同的边界线。对于$S_1$，有$\oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}= \mu_0 I$，因为电流$I$穿过了$S_1$。而对于$S_2$，有$\oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}= 0$，因为没有电流$I$穿过$S_2$。

如何解决这个问题？

麦克斯韦想到，变化的磁通量会产生电场，

\begin{equation*} \oint \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}= - \frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt} =- \int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot \mathrm d\vec{S} \end{equation*}

那么，变化的电通量应该会产生磁场。因此，麦克斯韦把安培环路定理推广至如下形式：

\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l} = \mu_0 \left ( I + \varepsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt} \right ) = \mu_0 \left ( I + \mu_0 \varepsilon_0 \int \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\cdot \mathrm d\vec{S} \right ) \end{equation*}

麦克斯韦把上式中括号内第二项叫做位移电流：

\begin{equation*} I_D \equiv \varepsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt} \end{equation*}

设任意时刻电容器上的电量为$q$，则$E=\frac{q}{\varepsilon_0 S}$，其中$S$为电容器极板的面积。电通量为

\begin{equation*} \Phi_E = ES=\frac{q}{\varepsilon_0 } \end{equation*}

因此位移电流为

\begin{equation*} I_D = \frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=I \end{equation*}

有了位移电流之后，我们就可以得到一般形式的安培环路定理：

\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}= \mu_0 (I + I_D)=\mu_0 \left (I + \varepsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt}\right ) \end{equation*}

易知，电磁介质中安培环路定理为

\begin{equation*} \oint \vec{H}\cdot\mathrm d\vec{l}= I_0 +\frac{\mathrm d\Phi_D}{\mathrm dt} \end{equation*}

其中$\Phi_D=\int \vec{D}\cdot\mathrm d\vec{S}$为电位移矢量的通量。

根据推广的安培环路定理，可以计算出充电过程中的平行板电容器在极板间产生的磁场

\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}= 2\pi r B = \mu_0 \frac{\pi r^2}{\pi R^2}I_D = \mu_0 \frac{\pi r^2}{\pi R^2}I \end{equation*}

即

\begin{equation*} B = \mu_0 \frac{ r}{2\pi R^2}I \end{equation*}

这一结果说明，极板之间轴线上磁场为0，磁场随偏离轴线的距离线性增大。这一预言与实验吻合，说明位移电流确实是存在的。位移电流是个天才级发明。

图2 充电过程中，电容器极板间有磁场

麦克斯韦方程组

电场和磁场的基本规律总结如下：

\begin{equation*} \begin{split} \oint \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=& \frac{q}{\varepsilon_0} \\ \oint \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}=& -\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt} =- \int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot \mathrm d\vec{S}\\ \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{S}=& 0 \\ \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=& \mu_0 \left (I + \varepsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt}\right ) \end{split} \end{equation*}

如果有电磁介质：

\begin{equation*} \begin{split} \oint \vec{D}\cdot\mathrm d\vec{S}=& q_0 \\ \oint \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}=& -\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt} = - \int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot \mathrm d\vec{S} \\ \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{S}=& 0 \\ \oint \vec{H}\cdot\mathrm d\vec{l}=& I_0 + \frac{\mathrm d\Phi_D}{\mathrm dt}=I_0 + \int \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot \mathrm d\vec{S} \end{split} \end{equation*}

以上即为麦克斯韦方程组。由麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式$\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}$原则上可解决解释所有宏观电磁现象问题，从分子极化到电流、电阻、电容、电感、晶体管、太阳风、细胞膜、电动机、雷电、地磁、地电、北极光、计算机、iPhone。

麦克斯韦方程组简约不简单，普适不平凡，是人类智力的伟大成就。麦克斯韦方程组之于电磁学如牛顿定律之于力学，热力学定律之于热力学。