耶鲁基础物理5.3能量守恒定律



总结前文讨论,得

\begin{equation} K_2-K_1=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx=G(x_2)-G(x_1)\equiv G_2-G_1 \label{5.10}\tag{5.10} \end{equation}

整理得

\begin{equation} K_2-G_2=K_1-G_1 \label{5.11}\tag{5.11} \end{equation}

现在,我们做一个细微的变化,引入函数

\begin{equation} U(x)=-G(x),\quad F(x)=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dx} \label{5.12}\tag{5.12} \end{equation}

于是,得到

\begin{equation} E_2\equiv K_2+U_2=K_1+U_1\equiv E_1 \label{5.13}\tag{5.13} \end{equation}

这就是能量守恒定律,其中$E=K+U$称为总机械能,$U$称为势能

能量守恒意味着当物体在力$F(x)$的作用下运动时,无论它在加速还是减速,一个确定的量

\begin{equation} E=\frac{1}{2}mv^2+U(x) \label{5.14}\tag{5.14} \end{equation}

不随时间改变。如果你知道了某个时刻的$E$值,那么你就知道了任何时刻的$E$值。

让我们考虑一个简单的例子。

拿起一块石头,松手,石头下落,它的速率在增加,高度在下降,你也许会猜到存在一个与高度和速度有关的物理量,一直保持不变。这个常量是什么?

重力为$F=-mg$,则势能$U$为

\begin{equation} U(y)=mgy \label{5.15}\tag{5.15} \end{equation}

因为它满足

\begin{equation} -\frac{\mathrm dU}{\mathrm dy}=-mg=F \label{5.16}\tag{5.16} \end{equation}

由能量守恒定律\eqref{5.14},得

\begin{equation} E_2=\frac{1}{2}mv_2^2+mgy_2=\frac{1}{2}mv_1^2+mgy_1=E_1 \label{5.17}\tag{5.17} \end{equation}

对于物体和弹簧组成的系统,相应的势能是

\begin{equation} U(x)=\frac{1}{2}kx^2 \label{5.18}\tag{5.18} \end{equation}

因为它满足

\begin{equation} -\frac{\mathrm dU}{\mathrm dx}=-kx=F \label{5.19}\tag{5.19} \end{equation}

由能量守恒定律\eqref{5.14},得

\begin{equation} E_2=\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx_2^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}kx_1^2 \label{5.20}\tag{5.20} \end{equation}

思考这样一个练习题。我拉动物体,使弹簧伸长$A$,松手,让物体运动,我想知道物体在某个位置,如$x=0$处的速度。如果你用牛顿第二定律求解,会非常麻烦,你不妨试一试。

如果应用能量守恒定律,你会很快得到结果。由\eqref{5.20}式,初态$x_1=A$,$v_1=0$,末态不写下标2,用以表示一般状态,由\eqref{5.20}式,得

\begin{equation} \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=0+\frac{1}{2}kA^2 \label{5.21}\tag{5.21} \end{equation}

在初始时刻,物体动能是零,仅有势能,在之后的任意时刻,我们可以解出物体在任何位置$x$处的速度。如果$x=0$,有

\begin{equation} E_2=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k0^2=0+\frac{1}{2}kA^2 \label{5.22}\tag{5.22} \end{equation}

\begin{equation} v^2=\frac{kA^2}{m} \label{5.23}\tag{5.23} \end{equation}

\begin{equation} v=\pm\sqrt{\frac{kA^2}{m}}=\pm A\sqrt{\frac{k}{m}}=\pm \omega A \label{5.24}\tag{5.24} \end{equation}

我们得到两个解,为什么?

这是因为物体可能从两个方向经过原点,如果是第一次经过原点,它将向左运动,速度为负值。

任意位置$x$处,速度为多少?

由\eqref{5.21}式,得

\begin{equation} v=\pm \sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{A^2-x^2} \label{5.25}\tag{5.25} \end{equation}

你可以看出来为什么现在求解速度要简单得多,这是因为通过对弹力积分,并以$U(x_2)-U(x_1)$的形式表示出来,我们已经一次性地计算出了在$x_2$和$x_1$两点间由弹簧引起的动能增量。

现在我们考虑另一个问题。一物体悬挂在天花板上,竖直坐标y的原点置于弹簧自然长度处,弹簧的弹力为-ky。现在有两个势能,重力势能和弹性势能,动能定理写为:

\begin{align} k_2-K_1=&\int_{y_1}^{y_2}F(y)\mathrm dy \label{5.26} \tag{5.26} \\ =&\int_{y_1}^{y_2}(-mg-ky)\mathrm dy \label{5.27} \tag{5.27} \\ =&mg(y_1-y_2)+\frac{1}{2}k(y_2^2-y_1^2) \label{5.28} \tag{5.28} \end{align}

改写为

\begin{equation} k_2+mgy_2+\frac{1}{2}ky_2^2=K_1+mgy_1+\frac{1}{2}ky_1^2 \label{5.29}\tag{5.29} \end{equation}

这正是能量守恒定律。

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