耶鲁基础物理1.4 匀加速运动
现在，我们讨论这样一类问题：加速度$a(t)$是一个常量，记作$a$。
这虽然不是一个一般的运动，但很值得研究。现实中有这样的运动吗？
有的，地面附近下落的物体即做这样的运动，$a=-g=9.8\mathrm {m/s^{-2}}$。
问：能否给出运动学方程$x(t)$？即求出一个二阶导数为$a$的函数$x(t)$。这叫做积分，是微分的逆运算。
微分有一定之规。如何求一个函数的导数？
给自变量一个增量，求出函数的增量，后者除以前者，再令自变量增量趋于零，求出极限，即得导数。
与微分不同，积分没有一定之规，我们的方法是猜。这种猜测人类已经做了300年了，不太复杂的积分还能对付。
下面我们开始猜出一个函数$x(t)$，对它两次求导，得到一个常数$a$。
如果函数是幂函数的形式，每求导一次，$t$的指数就减1。很明显，我们应该试试形似$t^2$的函数。
对$t^2$两次求导之后，结果是$a$吗？
很遗憾，结果是2，不是$a$。怎么办？有办法补救吗？
我们把试探函数$t^2$乘上一个系数$a/2$，$x(t)=at^2/2$，它求导两次之后，真的得到$a$了。
这是最一般的答案吗？
并不，这只是众多答案中的一个。还有什么答案？
把刚猜出的函数加上一个常数，比如96，求导两次，依然为$a$。96不过是众多常数中普通的一个，我们可以用字母$c$表示任意常数。$x(t)=at^2/2+c$，这就是我们现在猜出的答案。
这是最一般的答案吗？
并不。我们还可以加上$t$的一次方项，且常数任意，因为这项会在求二阶导数的过程中消失。即现在猜出的答案是$x(t)=at^2/2+bt+c$。
还能继续加项吗？
不能了，尽管这不那么明显看出来。
因此，若质点加速度为a，那么质点位置与时间的函数的一般表达式是
\begin{equation} x(t)=\frac{1}{2}at^2+bt+c \label{1.5}\tag{1.5} \end{equation}
其中，$b,c$都是常数。
$x(t)$描述的是质点在水平方向上的直线运动，我们也可以研究上下方向运动的质点，用纵坐标$y(t)$来描述。数学上，用$x$还是$y$来做表示符号是无所谓的。如果y的二阶导数是$a$，那么
\begin{equation} y(t)=\frac{1}{2}at^2+bt+c \label{1.6}\tag{1.6} \end{equation}
现在的问题是，$b$ 和 $c$ 应该取什么值？
如果仅仅知道质点的加速度$a$，你是无法确定质点位置的。例如在重力作用下下落的物体，具有加速度$-g$，这里负号表示加速度方向向下，与选定的坐标轴正方向相反，则运动学方程为
\begin{equation} y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+bt+c \label{1.7}\tag{1.7} \end{equation}
此式适用于每一个在重力作用下下落的物体，然而，它们却各有各的规律。区别在哪里？
在于它们的初始位置$y(0)=y_0$和初始速度$v(0)=v_0$。
这些就是常数$b$ 和 $c$要告诉我们的东西。何以见得？
\eqref{1.7}式代入$t=0$，那么等式左边就是初始位置$y_0$：
\begin{equation} y(t)=0+0+c \label{1.8}\tag{1.8} \end{equation}
因此，$c=y_0$就是质点的初始位置，代入\eqref{1.7}式，得
\begin{equation} y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+bt+y_0 \label{1.9}\tag{1.9} \end{equation}
如何用上初始速度$v_0$这一信息？
先求出质点的速度：
\begin{equation} v(t)=-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-gt+bt \label{1.10}\tag{1.10} \end{equation}
令$t=0$，得
\begin{equation} v(0)=v_0=b \label{1.11}\tag{1.11} \end{equation}
因此，$b$就是初始速度。
把$b$和$c$分别换成$v_0$和$y_0$，运动学方程为
\begin{equation} y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+y_0 \label{1.12}\tag{1.12} \end{equation}
此式各项物理意义更加清晰。
与此类似，质点沿水平方向运动，加速度为常数$a$，初始位置$x_0$，初始速度为$v_0$，则运动学方程为
\begin{equation} x(t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0 \label{1.13}\tag{1.13} \end{equation}
我们顺便说一个常用的公式，这个公式把某时间段的末速度$v(t)$和初速度$v_0$以及位移联系在一起，公式中不出现时间t。你还记得这个公式吗？
我们现在把这个公式导出来。想办法消去公式\eqref{1.13}中的$t$。
将\eqref{1.13}式改写为
\begin{equation} x(t)-x_0=\frac{1}{2}at^2+v_0t \label{1.14}\tag{1.14} \end{equation}
两边对$t$求导：
\begin{equation} v(t)=at+v_0 \label{1.15}\tag{1.15} \end{equation}
解出$t$，得：
\begin{equation} t=\frac{v(t)-v_0}{a} \label{1.16}\tag{1.16} \end{equation}
代入\eqref{1.14}式，有
\begin{align} x(t)-x_0=& \frac{1}{2}a\left [ \frac{v(t)-v_0}{a} \right ]^2+v_0\left [ \frac{v(t)-v_0}{a} \right ] \tag{1.17} \\ =& \frac{v^2(t)-v_0^2}{2a} \tag{1.18} \end{align}
上式可改写为
\begin{equation} v^2-v_0^2=2a(x-x_0) \tag{1.19}\label{1.19} \end{equation}
其中，$v$和$x$为$t$时刻的值。