由伽利略不变性推导动量守恒定律

动量守恒定律一般由牛顿定律来推导，《伯克利物理学教程·力学》只用伽利略不变性推导了动量守恒定律。即得到动量守恒定律不必用到牛顿定律。

伽利略不变性内容是：

物理学的基本定律在相互做匀速运动的一切参考系中都是相同的。

设两个参考系$S$和$S'$，后者相对前者有运动速度$\vec{V}$。假设两个参考系中时间是完全一样的，则在$S$和$S'$系观测到的同一个质点的速度$\vec{v}$和$\vec{v}'$有如下关系：

\begin{equation} \vec{v}'=\vec{v}-\vec{V} \label{Galeotrans} \end{equation}

这就是伽利略变换。

下面开始推导动量守恒定律。

考虑两个自由质点1和2，质量分别为$m_1$和$m_2$，两质点发生发生碰撞。

相对于参考系$S$，两质点碰撞之前的速度分别为$\vec{v}_1$和$\vec{v}_2$，碰撞之后的速度分别为$\vec{w}_1$和$\vec{w}_2$。考虑到碰撞过程中机械能的改变量$\Delta \varepsilon$，有能量守恒：

\begin{equation} \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1w_1^2+\frac{1}{2}m_2w_2^2+\Delta \varepsilon \label{energycons} \end{equation}

相对于参考系$S'$，两质点初末速度分别为

\begin{equation} \begin{split} \vec{v}_1'=\vec{v}_1-\vec{V},&\quad \vec{v}_2'=\vec{v}_2-\vec{V}\\ \vec{w}_1'=\vec{w}_1-\vec{V},&\quad \vec{w}_2'=\vec{w}_2-\vec{V} \end{split} \label{vwtrans} \end{equation}

参考系$S'$中有能量守恒

\begin{equation} \begin{split} &\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2=\frac{1}{2}m_1w_1'^2+\frac{1}{2}m_2w_2'^2+\Delta \varepsilon \\ &\frac{1}{2}m_1(v_1^2-2\vec{v}_1\cdot \vec{V}+V^2)+\\ &\frac{1}{2}m_2(v_2^2-2\vec{v}_2\cdot \vec{V}+V^2)=\\ &\frac{1}{2}m_1(w_1^2-2\vec{w}_1\cdot \vec{V}+V^2)+\\ &\frac{1}{2}m_2(w_2^2-2\vec{w}_2\cdot \vec{V}+V^2)+\Delta \varepsilon \end{split} \label{energycons'} \end{equation}

上式中$V^2$项消掉，又考虑到\eqref{energycons}式，由\eqref{energycons'}式可得

\begin{equation} (m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2)\cdot \vec{V}=(m_1\vec{w}_1+m_2\vec{w}_2)\cdot \vec{V} \label{Vterm} \end{equation}

进而得

\begin{equation} m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{w}_1+m_2\vec{w}_2 \label{momentcons} \end{equation}

这正是动量守恒定律。