匀速拉地毯最少需要多大的力？

匀速拉起一张长而薄的柔软地毯，所需要的最小的力是多大？

问题

地上铺着一张长而薄的柔软地毯。地毯一端折起，以恒定速度将折起的一端向后拉，地毯地面部分保持静止。设拉地毯的速度为1，保持不变，求地毯被拉起部分质心的速度。设地毯的长度为1，质量为1，求拉动地毯所需要的最小的力是多大。

提示

地毯移动部分速度小于地毯移动端速度，因为地毯移动部分的质量在不断增加。

解答

设某时刻地毯移动端位置为$x$，如图所示，则地毯另一端位置为$x/2$，于是地毯移动部分的质心的位置为$3x/4$。根据题意，$\mathrm dx/\mathrm dt=1$，所以，地毯移动部分的质心的速度仅为$3/4$

地毯被拉起部分的动量为$p=mv$，这里$v=1$，而$m$均匀增加。根据牛顿第二定律，地毯移动部分合外力为

\begin{equation*} F=\frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}v+\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}m=\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}1+0 \end{equation*}

地毯移动部分质量变化率计算如下。$t=0$时刻，处于坐标原点的地毯一端开始被拉起，等到整个地毯都开始移动的时候，地毯移动端位置为$x=2$，此时时刻为$t=2$，因此$\mathrm dm/\mathrm dt=1/2$。没有能量耗散时拉力最小，因此最小拉力为$F=1/2$。