一元三次方程的根

一元三次方程必有实根。

不完全三次方程

方程形式如下：

\begin{equation}
y^3+py+q=0
\label{incomplete}
\end{equation}

意大利数学家卡尔达诺给出上述方程的根：

\begin{equation} \begin{split} &y_1=A+B\\ &y_{2,3}=-\frac{1}{2}(A+B)\pm i \frac{\sqrt{3}}{2}(A-B) \end{split} \label{incompleteroot} \end{equation}

其中

\begin{equation} \begin{split} &A=\left (-\frac{q}{2}+\sqrt{D} \right)^{1/3}\\ &B=\left (-\frac{q}{2}-\sqrt{D} \right)^{1/3}\\ &D=\left (\frac{p}{3}\right)^3+\left (\frac{q}{2}\right)^2 \end{split} \label{ABD} \end{equation}

实根个数与判别式$D$的符号有关：

• $D\gt 0$，一个实根和两个共轭复根
• $D=0$，$\left (\frac{p}{3}\right)^3=-\left (\frac{q}{2}\right)^2\neq 0$，一个实根和一个双重实根；$\left (\frac{p}{3}\right)^3=-\left (\frac{q}{2}\right)^2=0$，三重实根
• $D\lt 0$，三个不等实根

卡尔达诺

完全三次方程

方程形式如下：

\begin{equation}
ax^3+bx^2+cx+d=0,\quad (a\neq0)
\label{complete}
\end{equation}

方程的根为

\begin{equation}
x_k=y_k-\frac{b}{3a}, k=1, 2, 3
\label{completeroot}
\end{equation}

其中$y_k$为方程\eqref{incomplete}的根，对应的系数为

\begin{equation} \begin{split} &p=-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a} \right)^2+\frac{c}{a}\\ &q=\frac{2}{27}\left(\frac{b}{a} \right)^3-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a} \end{split} \label{coefficient} \end{equation}

方程的根满足如下形式的韦达定理：

\begin{equation} \begin{split} &x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\ &x_1x_2+x_1x_2+x_2x_3=\frac{c}{a}\\ &x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \end{split} \label{Viete} \end{equation}

韦达