高分子刷中的Co-Nonsolvency
刷采取盒子模型。接枝链链长为$N$，Kuhn长度为$a$，刷的接枝密度为$1/s$，体积分数为$\phi_{\mathrm P}=\frac{Na^3}{sH}$。刷内自由移动的CNS溶剂的体积分数$\phi_{\mathrm C}$，本体溶液中CNS溶剂的体积分数为$\Phi_{\mathrm C}$。CNS溶剂吸附到接枝链上的体积分数为$\phi_{\mathrm a}$。吸附有CNS溶剂的体积分数为$\theta=\frac{N_{\mathrm a}}{N}=\frac{\phi_{\mathrm a}}{\phi_{\mathrm P}}$。吸附相互作用能为$-\varepsilon$，桥接相互作用能为$-2\gamma\varepsilon$。
刷内自由能密度为
\begin{equation} \begin{split} f^{\mathrm {brush}}=&\frac{1}{2}\frac{1}{s^2\phi_{\mathrm P}}\\ & + \phi_{\mathrm C}\ln\phi_{\mathrm C}+(1-\phi_{\mathrm C}-\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a})\ln(1-\phi_{\mathrm C}-\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a})\\ & +\phi_{\mathrm a}\ln\phi_{\mathrm a}-\phi_{\mathrm P}\ln\phi_{\mathrm P} +(\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a})\ln(\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a})-\varepsilon\phi_{\mathrm a} \\ &- 2\gamma\varepsilon\phi_{\mathrm a} (\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a}) \end{split} \label{fbrush} \end{equation}
本体自由能密度
\begin{equation} f^{\mathrm {brush}}=\Phi_{\mathrm C}\ln\Phi_{\mathrm C}+(1-\Phi_{\mathrm C})\ln(1-\Phi_{\mathrm C}) \label{fbulk} \end{equation}
平衡态结构
\begin{equation} \begin{split} &\frac{\partial f^{\mathrm {brush}}}{\partial \phi_{\mathrm C}}=\frac{\partial f^{\mathrm {bulk}}}{\partial \Phi_{\mathrm C}}\Longrightarrow \\ & \ln\left (\frac{\phi_{\mathrm C}}{\Phi_{\mathrm C}} \right )-\ln\left (\frac{1-\phi_{\mathrm C}-\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a}}{1-\Phi_{\mathrm C}} \right )=0 \end{split} \label{Cpotential} \end{equation}
\begin{equation} \begin{split} &\frac{\partial f^{\mathrm {brush}}}{\partial \phi_{\mathrm a}}\Bigg |_{\phi_{\mathrm C}+\phi_{\mathrm a}=\mathrm {const}}=0\Longrightarrow \\ & -\ln\phi_{\mathrm C}-1+\ln\phi_{\mathrm a}-\ln(\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a})-\varepsilon- 2\gamma\varepsilon (\phi_{\mathrm P}-2\phi_{\mathrm a})=0 \end{split} \label{mina} \end{equation}
\begin{equation} \begin{split} &-f^{\mathrm {brush}}+\phi_{\mathrm P}\frac{\partial f^{\mathrm {gel}}}{\partial \phi_{\mathrm P}}+\phi_{\mathrm C}\frac{\partial f^{\mathrm {brush}}}{\partial \phi_{\mathrm C}}+\phi_{\mathrm a}\frac{\partial f^{\mathrm {brush}}}{\partial \phi_{\mathrm a}}=-f^{\mathrm {bulk}}+\Phi_{\mathrm C}\frac{\partial f^{\mathrm {bulk}}}{\partial \Phi_{\mathrm C}}\Longrightarrow \\ &-\frac{1}{s^2\phi_{\mathrm P}} -\ln\left(\frac{1-\phi_{\mathrm C}-\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a}}{1-\Phi_{\mathrm C}} \right)-\phi_{\mathrm P}-\phi_{\mathrm a}- 2\gamma\varepsilon\phi_{\mathrm a} (\phi_{\mathrm P}-2\phi_{\mathrm a})=0 \end{split} \label{osm} \end{equation}