勒让德多项式用勒让德多项式展开

如上图，两个带电球 A 和 B，考虑较简单的情况，电荷只分布在球面上，且电荷分布关于 $z$ 轴对称。

球外电势

\begin{equation}
\varphi_0=\sum_{n=0}^{\infty}\left [a_n\left(\frac{r_p}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos\theta) + A_n\left(\frac{R_p}{R}\right)^{n+1}P_n(\cos\Theta)\right ]
\label{elecpot}
\end{equation}

式中两个勒让德多项式可以彼此展开：

\begin{equation}
R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta), r \lt S
\label{reexpansion1}
\end{equation}

\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kS^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^kP_k(\cos\Theta), R \lt S
\label{reexpansion2}
\end{equation}

上述再展开的证明，见 J. Electrost 36, 195，过程如下：

考虑两个级数

\begin{equation}
\phi_n=r^nP_n(\cos\theta)
\label{phi}
\end{equation}

\begin{equation}
\psi_n=R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)
\label{psi}
\end{equation}

注意到 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$\cos\theta=z/r$，$R=\sqrt{x^2+y^2+(z-S)^2}$，$\cos\Theta=(z-S)/R$

将两个级数 \eqref{phi} 和 \eqref{psi} 对 $z$ 求导，

\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial \phi_n}{\partial z}=&nr^{n-1}\frac{\partial r}{\partial z}P_n(\cos\theta)+r^n\frac{\partial P_n(\cos\theta)}{\partial \cos\theta}\frac{\partial \cos\theta}{\partial z}\\
=&nr^{n-1}\frac{\partial r}{\partial z}P_n(\cos\theta)+r^n\frac{\partial P_n(\cos\theta)}{\partial \cos\theta}\frac{\partial \cos\theta}{\partial z}\\
=&nr^{n-1}\cos\theta P_n(\cos\theta)+r^n\frac{\partial P_n(\cos\theta)}{\partial \cos\theta}\frac{\sin^2\theta}{r}\\
=&nr^{n-1}\cos\theta P_n(\cos\theta)-r^{n-1}(\cos^2\theta-1)\frac{\partial P_n(\cos\theta)}{\partial \cos\theta} \\
=&nr^{n-1}\cos\theta P_n(\cos\theta)-r^{n-1}[n\cos\theta P_n(\cos\theta)-nP_{n-1}(\cos\theta)]\\
=&nr^{n-1}P_{n-1}(\cos\theta)=n\phi_{n-1}
\end{split}
\label{dphi}
\end{equation}

倒数第二个等号中的方括号用到了递推公式 $(x^2-1)\frac{dP_k(x)}{dx}=kxP_k(x)-kP_{k-1}(x)$，见梁昆淼数学物理方法书 pp294.

同理

\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial \psi_n}{\partial z}=&-(n+1)R^{-n-2}\cos\Theta P_n(\cos\Theta)-R^{-n-2}[n\cos\Theta P_n(\cos\Theta)-nP_{n-1}(\cos\Theta)]\\
=&R^{-n-2}[-(2n+1)\cos\Theta P_n(\cos\Theta)+nP_{n-1}(\cos\Theta)]\\
=&-(n+1)R^{-n-2}P_{n+1}(\cos\Theta)=-(n+1)\psi_{n+1}
\end{split}
\label{dpsi}
\end{equation}

上面的推导中用到了递推关系 $(k+1)P_k(x)-(2k+1)xP_k(x)+kP_{k-1}(x)=0$，见梁昆淼数学物理方法书 pp294.

对于 $\psi_0$，有

\begin{equation}
\begin{split}
\psi_0=&R^{-1}P_0(\cos\Theta)=\frac{1}{R}\\
=&\frac{1}{S\sqrt{1-2(r/S)\cos\theta+(r/S)^2}}\\
=&\frac{1}{S}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{r}{S}\right )^k P_k(\cos\theta)\\
=&\sum_{k=0}^{\infty}S^{-k-1}r^k P_k(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}S^{-k-1}\phi_k \\
\end{split}
\label{psi0}
\end{equation}

由 \eqref{dpsi} 式，

\begin{equation}
\begin{split}
\psi_n=&R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=-\frac{1}{n}\frac{\partial }{\partial z}\psi_{n-1} =\frac{(-1)^n}{n!}\frac{\partial^n }{\partial z^n}\psi_{0}\\
=&\frac{(-1)^n}{n!}\frac{\partial^n }{\partial z^n}\sum_{k=0}^{\infty}S^{-k-1}\phi_k\\
=&\frac{(-1)^n}{n!}\sum_{k=n}^{\infty}S^{-k-1}k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)\phi_{k-n}\\
=&(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-k-1}\frac{(k+n)!}{k!n!}\phi_{k}\\
=&(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta)
\end{split}
\label{psirecur}
\end{equation}

以上正是我们要得到的勒让德多项式再展开。

将 $z$ 轴反向，即可得逆展开。过程如下：

\begin{equation*} \begin{split} r^{-n-1}P_n(\cos(\pi-\theta))=&r^{-n-1}(-1)^nP_n(\cos\theta)\\\\ =&(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^k P_k(\cos(\pi-\Theta))\\\\ =&(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^k (-1)^k P_k(\cos\Theta) \end{split} \end{equation*}

于是得逆展开

\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kS^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^k P_k(\cos\Theta)
\label{invpsirecur}
\end{equation}

其实，如果把 $\theta$ 和 $\Theta$ 都设定为 $r$、$S$ 和 $R$ 围成的三角形的内角，则两个正、逆展开形式完全一样：

\begin{equation}
R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta)
\label{triangle1}
\end{equation}

\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^k P_k(\cos\Theta)
\label{triangle2}
\end{equation}