理论物理极础5:能量

“老先生,你在火车头下找什么?”
莱尼超爱大个头蒸汽机车,经常和乔治去火车场看火车。
今天,他们发现一位老先生好像在找什么东西。
老先生问乔治:“拉火车的马在哪里?”
“火车跑不需要马。我来告诉你火车怎么跑的,你看这里,”乔治说着,指着火车头上一个地方,“那里是火箱,煤炭在其中燃烧,放出化学能,紧挨着火箱是锅炉,热将锅炉里的水加热,产生蒸汽。蒸汽压推动火箱里的活塞,即对活塞做功。活塞又推动这些杆,这些杆带动火车轮子转起来。”老先生与乔治握了握手,带着理解的微笑离开了。
莱尼一直站在边上听乔治讲解火车。莱尼带着崇拜,对乔治说:“乔治,你讲得真好,我都懂了,火箱,锅炉,活塞。只是有一个点我还没懂。”
“莱尼,还有什么不懂?”
“马在哪里?”

力和势能

大家都学过,能量有多种形式,如动能、势能、热能、化学能、核能、……,并且知道,能量的总量是守恒的。但是经典物理研究质点运动时候只有两种能量形式:动能和势能。导出能量守恒的最佳方法是直接跳到正式的数学公式,再后退一步,看看我们会得到什么。

最基础的原理我们可称之为势能原理,所有的力都可由势能函数$V(\{x\})$导出,如前面的章节一样,$\{x\}$代表体系$N$个质点的$3N$个坐标的集合,即构型空间。为了更清晰地展示势能原理,我们这里考虑最简单的情形,沿$x$轴运动的单个质点,所受外力为$F(x)$。根据势能原理,质点所受的力与势能$V(x)$的导数有关:

\begin{equation} F(x)=-\frac{dV(x)}{dx} \label{eq:1} \end{equation}

在一维情形下,势能原理其实就是势能的定义。对方程\eqref{eq:1}两边积分,就可得到势能:

\begin{equation} V(x)=-\int F(x)dx \label{eq:2} \end{equation}

我们可以这样理解方程\eqref{eq:1}:力总是试图将质点推往势能更低的地方(注意方程中的负号)。另外,$V({x})$越陡,力越大。总结为一句广告语:力推你下山(式小括号中的项正好抵消Force pushes you down the hill)。

势能本身是不守恒的。随着质点的运动,$V({x})$要发生变化。守恒的量是势能与动能的总和。粗略地讲,随着质点滚下山(即质点向势能低处运动),质点速度越来越大。如果质点向山上滚,质点速度愈来愈小。有某种东西是守恒的。

动能$T$用速度$v$和质量$m$来定义,具体定义为:

\begin{equation*}T =\frac{1}{2}mv^2\end{equation*}

质点的总能量$E$为动能与势能的和:

\begin{equation*}E =\frac{1}{2}mv^2 + V(x)\end{equation*}

随着质点沿$x$轴运动,两种形式的能量都发生变化,但是变化的方式是保持二者之和不变。下面我们来证明这一点。如果总能量$E$对时间的导数为零,则就证明总能量不随时间变化。

我们先计算动能的时间变化率。动能定义式里,质量不变,速度的平方$v^2$会变化,$v^2$对时间的导数为:

\begin{equation}\frac{dv^2}{dt}=2v\frac{dv}{dt}=2v\dot{v} \label{eq:3} \end{equation}

练习1:证明方程\eqref{eq:3}。

于是,动能对时间的导数为

\begin{equation*}\dot{T}=mv\dot{v}=mva\end{equation*}

在上式中,速度对时间的导数代换为加速度。

下一步,我们计算势能的时间变化率。这里要注意到的关键点是,势能$V(x)$会随时间变化是因为$x$会随时间变化。势能对时间求导,得:

\begin{equation*}\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt}\end{equation*}

将$\frac{dx}{dt}$代换为速度$v$,有:

\begin{equation*}\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}v\end{equation*}

(注意不要把$V$和$v$弄混。)

现在就可以计算总能量的时间变化率了:

\begin{equation*}\dot{E}=\dot{T}+\dot{V}=mva+\frac{dV}{dx}v\end{equation*}

两项都有$v$,提取公因式,有:

\begin{equation*}\dot{E}=v\left (mva+\frac{dV}{dx}\right )\end{equation*}

注意看括号里边,势能与力有关系。由方程(\ref{eq:1}),上式变为:

\begin{equation*}\dot{E}=v\left (ma-F(x)\right )\end{equation*}

由牛顿第二定律,$F=ma$,上式小括号中的项正好抵消,则$\dot{E}=0$,我们也就证明了能量守恒。

我们讨论多维情况之前,我们还需要讨论一点,动量为什么不守恒?在前面的章节里,我们证明过,对于孤立系统,牛顿第三定律意味着动量守恒。答案是,我们漏掉了系统里的一些事情,即对做一维运动的质点施加力的物体。比如,如果要研究的问题是引力场中下落的质点,引力是地球施加的。当质点下降时,它的动量是变化的,但是这一变化为地球运动微小变化所弥补。即把下落的物体和地球看成一个系统,动量还是守恒的。

高维运动

力的分量是势能的导数,但这不是力的定义。不从势能的导数来想象力学定律可能更自然些,但是自然并不运用这样的非保守力

让我们思考问题比以前更抽象一点。构型空间(也即位置空间)的坐标称为$x_i$。这里的下标$i$不是标记质点的,也不是标记空间方向的,而是将二者都涵盖在内。对于$N$个质点组成的系统,$i$有$3N$个值。我们先不管这怎么来的,只考虑$i$标记的一个抽象坐标系。

现在写下运动方程:

\begin{equation} m_i\ddot{x}_i=F_i(\{x\}) \label{eq:4} \end{equation}

每个坐标都对应一个质量$m_i$和一个力的分量$F_i$。力的每个分量都依赖于所有位置$\\{x\\}$。

在上一节的一维情况,力是势能的负导数,见方程(\ref{eq:1})。这是势能的定义,但不是力要满足的特殊条件。对于高维情况,事情更复杂。一般情况下,不是所有的力$F_i({x})$都是某个函数的$V({x})$的导数。如果我们认为力的分量都可以描述为一个势能函数的(偏)导数,这会是一个全新的原理。

这个原理还真不是随便猜想的。这是物理学里最重要的原理之一的数学表达式:
对于任何系统,存在一个函数$V({x})$,与力满足如下关系

\begin{equation} F_i({x})=-\frac{\partial V({x})}{\partial x_i} \label{eq:5} \end{equation}

方程(\ref{eq:5})表示什么自然定律?你可能已经猜到,能量守恒。我们稍后予以说明,现在我们说明一下方程(\ref{eq:5})表达的的物理图像。

想象一下,函数$V({x})$表示地形图,表示各点的高度。首先,方程(\ref{eq:5})中的负号表示力指向山下的方向,并且表示,越陡的地方力越大。比如,在等高线图上,沿着等高线没有力。力矢量与等高线垂直。

现在,我们开始导出能量守恒。把方程(\ref{eq:5})带入运动方程方程(\ref{eq:4}),有:

\begin{equation} m_i\ddot{x}_i=-\frac{\partial V(\{x\})}{\partial x_i} \label{eq:6} \end{equation}

方程(\ref{eq:6})两边都乘以相应的速度$\dot{x}_i$,并对所有分量求和:

\begin{equation} \sum_i m_i\dot{x}_i\ddot{x}_i=-\sum_i \dot{x}_i\frac{\partial V({x})}{\partial x_i} \label{eq:7} \end{equation}

我们下一步的处理技巧与一维情况是一样的。总的动能为各坐标对应的动能之和:

\begin{equation*}T=\frac{1}{2}\sum_i m_i\dot{x}^2\end{equation*}

现在我们看看方程(\ref{eq:7})的两边分别是什么。先看左边:

\begin{equation*}\sum_i m_i\dot{x}_i\ddot{x}_i=\frac{dT}{dt}\end{equation*}

再看右边:

\begin{equation*}-\sum_i \dot{x}_i\frac{\partial V({x})}{\partial x_i}=-\frac{dV}{dt}\end{equation*}

因此方程(\ref{eq:7})可写为:

\begin{equation}\frac{dT}{dt}+\frac{dV}{dt}=0 \label{eq:8} \end{equation}

与一维情况一模一样,方程(\ref{eq:8})表达的意思是,总能量对时间的导数为0,即能量守恒。

为了形象化地理解方程(\ref{eq:8})的含义,我们想象一个球在一片山地无摩擦滚动。球向低处滚动时,速度增大,球向高处滚动时,速度减小。方程(\ref{eq:8})告诉我们,球滚动过程中,动能和势能的总和保持不变。

你可能纳闷,自然界的力为什么总是某个函数的梯度(导数)?下一章,我们将从最小作用量原理,重新把经典力学总结为新的理论体系,这一新的理论体系的起点就是存在这样的势能函数。你又会问,为什么有个最低作用量原理?答案可追溯到量子力学和量子场论里力的起源,这些内容我们还谈不到。为什么用到量子场论?我们现在还没法回答这样的问题,就接受好了。当然,我们也可以一直追寻下去。

练习2:考虑做二维运动的质点,两个坐标分别为$x$和$y$,质点的质量为$m$,势能函数为$V=\frac{1}{2}k(x^2+y^2)$。请写出运动方程。证明存在圆形轨道,并且各圆形轨道的周期都相同。证明能量守恒。

练习3:重新考虑练习2,但势能函数为$V=\frac{k}{2(x^2+y^2)}$,问还是否可能有圆形轨道?如果存在,这些圆形轨道的周期相同吗?总能量守恒吗?

在讨论最小作用量原理之前,我想列举一些物理中经常讨论的能量,并评述一下它们如何适用于能量守恒的物理图像。常见的能量有:

  • 机械能
  • 热能
  • 化学能
  • 原子能或核能
  • 静电能
  • 磁能
  • 辐射能

一些能量形式(不是全部)之间的区别有点过时了。机械能常常指宏观物体的动能和势能,如行星和塔吊吊起的重物。

热能藏身于气体或分子集合体里,也包括动能和势能,与机械能的差别是,热能涉及很多很多质点混沌运动,我们甚至无法细致刻画这些运动。

化学能也很特别,储存于化学键中,是构成分子的的粒子的动能和势能之和。化学能更难以理解,因为需要用到量子力学,归根结底,化学能也是粒子的动能和势能。原子能或核能,可与化学能类似理解。

静电能是一种势能,与带电粒子之间的排斥力和吸引力有关。事实上,除了引力势能,静电能是日常经典世界最主要的势能。静电能是原子与分子里带电粒子之间的势能。

磁能有点复杂,是磁极之间作用力对应的势能。复杂之处在于磁体和带电粒子之间的作用力。带电粒子所受到的磁力与速度有关。我们后面还会讨论这个问题。

电磁辐射里也蕴藏着能量,这种能量形式多样,如太阳发的热、无线电波里的能量、激光,等。广义来讲,辐射能也是动能和势能之和,但不是质点或粒子的能量,而是场的能量。本书不讨论电磁能。

标签: 动能, 势能, 能量, 能量守恒

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