理论物理极础4:质点系

一个暖洋洋的傍晚,莱尼和乔治懒洋洋地躺在草坪上,看着夜空漫天繁星。
“乔治,给我说说星星吧,它们是质点吗?”
“一定程度上是,莱尼。”
“它们为啥不动呢?”
“它们在动,只是彼此相距太远,我们看不出来它们相对彼此在动。”
“星星那么多,乔治,你觉得拉普拉斯那哥们能计算出它们的运动吗?”

质点系

拉普拉斯认为,自然由粒子组成,如果果然如此,那么自然定律就是这些粒子系统的动力学定律。我们回顾一下拉普拉斯说过的话:“一个智者如果在某个时刻知道所有的力……和所有的位置……”怎么确定一个质点(有质量的粒子)的受力?答案是通过其他质点的位置。

世界有各种各样的力,比如摩擦力,风的阻力,地板阻止你滑倒的力,这些力都不是最基本的力,它们都源于原子和分子间的力。

在我们目光所及的宏观世界,最基本的力是万有引力和电相互作用力。这些力取决于很多因素:两个质点之间的引力正比于它们的质量积,电相互作用力正比于它们的电量的积。电量和质量是微观粒子的固有性质,指明系统需要指明组成系统的质点的质量和电量。

力还与质点的位置有关。如两个物体之间的引力和电作用力取决于它们之间的距离。所有的质点的位置由它们各自的坐标来描述,第1个质点的坐标是$(x_1,y_1,z_1)$,第2个质点的坐标是$(x_2,y_2,z_2)$,第3个质点的坐标是$(x_3,y_3,z_3)$,如此等等,直到第$N$个质点。于是,任何一个质点的受力是所有质点位置的函数,写成如下形式:

\begin{equation*}\vec{F}_i=\vec{F}_i\left (\{\vec{r}\}\right)\end{equation*}

这个方程就表示第$i$个质点受到的力是各个质点的位置的函数。符号$\{\vec{r}\}$表示系统中每个质点的位置,即所有位置矢量的集合。

一旦我们知道任何一个质点的受力,比如第1号质点,我们就可以写出这个质点的牛顿运动方程:

\begin{equation*}\vec{F}_1\left (\{\vec{r}\}\right)=m_1\vec{a}_1\end{equation*}

其中$m_1$和$\vec{a}_1$是第1号质点的质量和加速度。把加速度写成位置矢量的二阶导数,上式可写为:

\begin{equation*}\vec{F}_1\left (\{\vec{r}\}\right)=m_1\frac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}\end{equation*}

对每个质点都可以写出类似的方程:

\begin{equation*}\vec{F}_1\left (\{\vec{r}\}\right)=m_1\frac{d^2\vec{r}_1}{dt^2}\end{equation*}

\begin{equation*}\vec{F}_2\left (\{\vec{r}\}\right)=m_2\frac{d^2\vec{r}_2}{dt^2}\end{equation*}

\begin{equation*}\vec{F}_3\left (\{\vec{r}\}\right)=m_3\frac{d^2\vec{r}_3}{dt^2}\end{equation*}

\begin{equation*}\vdots\end{equation*}

\begin{equation*}\vec{F}_N\left (\{\vec{r}\}\right)=m_N\frac{d^2\vec{r}_N}{dt^2}\end{equation*}

以上$N$个方程浓缩成一个方程:

\begin{equation*}\vec{F}_i\left (\{\vec{r}\}\right)=m_i\frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2}\end{equation*}

写成分量形式:

\begin{equation} \begin{cases} ({F}_i)_x\left (\{{x}\}\right)=m_i\frac{d^2x_i}{dt^2} \\ ({F}_i)_y\left (\{{y}\}\right)=m_i\frac{d^2y_i}{dt^2} \\ ({F}_i)_z\left (\{{z}\}\right)=m_i\frac{d^2z_i}{dt^2} \end{cases} \label{eq:1}\end{equation}

在此方程组中,$({F}_i)_x$、$({F}_i)_y$和$({F}_i)_z$分别表示第$i$个质点的受力的$x$、$y$和$z$分量。${{x}}$、${{y}}$和${{z}}$分别表示所有质点的位置矢量的$x$、$y$和$z$分量的集合。

从上面这个方程组可以清楚看出,每个质点的坐标都对应一个方程,这些方程再加上初始条件可以告诉拉普拉斯的智者每个质点如何运动。总共有多少个方程?每个质点有三个方程,如果有$N$个质点,那么总共有$3N$个方程。

质点系的态空间

系统的状态的正式含义是:“按照给定动力学定律预测系统未来你需要(完全精确地)知道的一切事情”。回忆一下第1讲的内容,态空间就是系统所有可能的状态的集合。在第1讲的例子中,态空间是离散的:硬币的态空间是H和T,色子的态空间是1到6,等等。在亚里士多德力学中,假设物体受力已知,速度告诉你下个瞬时物体的位置。

但是,牛顿定律与亚里士多德定律不同:牛顿定律告诉你的是加速度,不是速度。这意味着在初始时刻,你不仅需知道各质点在哪里,还需要知道各质点的速度。速度告诉你下个瞬时质点的位置,加速度告诉你下个瞬时质点的速度。

这意味着,质点系的态空间只有当前位置是不够的,还要包括它们的速度。比如,如果系统是单质点系统,它的态有6个数据:位置的3和分量和速度的3个分量。我们可以说单个质点的态是一个六维空间的一个点,这个六维空间的六个坐标轴为:$x$、$y$、$z$、$v_x$、$v_y$、$v_z$。

现在我们考虑这个质点的运动。在每个瞬时,状态用6个变量的值标记:$x$、$y$、$z$、$v_x$、$v_y$、$v_z$。质点的历史可以图形化成六维状态空间的轨迹。

下面我们考虑$N$个质点组成的系统的态空间。要指明这个系统的状态,我们需要指明每个质点的状态。很明显,态空间是$6N$维的:每个质点的3个位置分量和3个速度分量。你可以说,系统的运动是$6N$空间中轨迹。

稍等一下。如果态空间是$6N$维的,为什么方程组(\ref{eq:1})中$3N$个分量就足以确定系统的演化?我们是不是丢失了一半的方程?我们再回到单质点系统,力给定后,根据牛顿定律,又知加速度是速度的变化率,我们有:

\begin{equation*}m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}\end{equation*}

这里没有速度的表达式,我们需要补充另外的方程,表示速度是位置的变化率:

\begin{equation*}\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}\end{equation*}

有了这个方程,我们总共有了态空间6个分量的演化方程。这对于质点系中的单个质点也是一样的,所以其实有$6N$个方程支配着质点系在态空间的运动:

\begin{equation} \begin{cases} m_i\frac{d\vec{v}_i}{dt}=\vec{F}_i \\ \frac{d\vec{r}_i}{dt}=\vec{v}_i \end{cases} \label{eq:2}\end{equation}

这就是问题的答案:表面上丢失了一半方程,其实并没有。

不管你在某个时刻处于$6N$维空间的哪个地方,方程组(\ref{eq:2})告诉你下个瞬时你在$6N$维空间的位置,还可以告诉你上个瞬时你在$6N$维空间的位置。因此,程组(\ref{eq:2})是合法的动力学定律。我们现在有了描述$N$个质点的$6N$个方程。

动量和相空间

如果你被运动物体撞到,后果不仅与物体的速度有关,还与物体的质量有关。很明显,速度相同的乒乓球与汽车的力学效应要差很多。事实上,力学效应与物体的动量成正比,动量为质量与速度的乘积。既然速度是矢量,那么动量也是矢量。动量用字母$p$表示,根据定义,有

\begin{equation*}p_i=mv_i\end{equation*}

\begin{equation*}\vec{p}=m\vec{v}\end{equation*}

动量与速度关系密切,我们用动量和位置,而不是速度与位置,标记态空间的点。用动量和位置标记的态空间有个专门的名字——相空间。一个质点的相空间是六维空间,坐标为$x_i$和$p_i$,如图1。


图1. 相空间中一点

我们不称其为构形空间,而是弄个新词相空间?原因是构形空间用于指别的东西,即三维位置空间。我们可以说“位置空间加上动量空间等于相空间。”事实上,构形空间与位置空间可看做同义词。

你可能会问,描述质点的状态,为什么要用抽象的动量代替直觉上容易想象的速度?我们后几讲讲完经典力学的基本框架之后,这个答案才会比较清楚。这里,我们可以用动量重新表述方程组(\ref{eq:2})。我们先注意到$m\frac{d\vec{v}}{dt}$正是动量的变化率,$\frac{d\vec{p}}{dt}$,对时间求导用点表示,有,

\begin{equation*}m\frac{d\vec{v}}{dt}=\dot{\vec{p}}\end{equation*}

方程组(\ref{eq:2})可写为:

\begin{equation} \begin{cases} \dot{p}_i=F_i(\{r\}) \\ \dot{r}_i=\frac{F_i}{m} \end{cases} \label{eq:3}\end{equation}

这组简单优雅的方程组正是拉普拉斯想象的自然定律:对于相空间的每个坐标都有对应的时间演化方程。

作用、反作用和动量守恒

抽象的普遍的经典力学原理将在随后几讲逐步表述,这里介绍经典力学原理一个意义深刻的结果——动量守恒原理。但是动量守恒原理也可以通过牛顿第三定律做初等水平的理解。牛顿第三定律的内容是:
物体之间的作用是相互的,作用与反作用大小相等,方向相反。

思考牛顿第三定律的最简单的方法是考虑成对相互作用的质点。每个质点$j$都对其他任意一个质点$i$施加力的作用。一个质点受到的合力是其他所有质点对它施加的力的总和。质点$j$对质点$i$施加的力记为$\vec{f}_{ij}$,质点$i$所受合力为:

\begin{equation}\vec{F}_i=\sum_j \vec{f}_{ij} \label{eq:4}\end{equation}

牛顿的作用与反作用定律是关于一对质点之间的力$\vec{f}_{ij}$的。具体内容很简单:质点$j$对质点$i$的作用力与质点$i$对质点$j$的作用力大小相等方向相反,可表述为如下方程:

\begin{equation} \vec{f}_{ij}=-\vec{f}_{ji} \label{eq:5}\end{equation}

将方程(\ref{eq:4})带入方程组(\ref{eq:3})的第一个方程有:

\begin{equation*}\dot{\vec{p}}_i=\sum_j \vec{f}_{ij}\end{equation*}

即任何一个质点的动量的变化率等于该质点受到的其他所有质点所施加的力的总和。现在我们把各个质点所满足的方程都加起来,看看总动量如何随时间变化,即

\begin{equation*}\sum_i\dot{\vec{p}}_i=\sum_i\sum_j \vec{f}_{ij}\end{equation*}

方程左边为各个质点的动量的和的时间变化率,也即系统总动量的时间变化率。方程的右边为0。因为当你把求和写开,每对粒子都贡献两项,质点$j$对$i$的力和质点$i$对$j$的力,根据作用与反作用定律,即方程(\ref{eq:5}),这两项正好互相抵消。因此上式可写为

\begin{equation*}\frac{d}{dt}\sum_i\vec{p}_i=0\end{equation*}

这个方程就是动量守恒定律的数学表达式:孤立系统的总动量永不改变。

让我们考虑$p$和$x$张成的$6N$维空间。空间中的每一点都标明了各个质点的动量,即相应的$p$坐标,那么在每一点也可以标上系统的总动量。现在想象质点系自空间某一点开始演化,随着时间的流逝,相点在空间走出一条路径。路径上的每个点都具有相同的总动量。这与我们在第1讲讲的守恒定律是完全类似的。

标签: 相空间, 动量守恒定律, 质点系

添加新评论