转动小球的自由下落与地面的碰撞后的反跳

如图建立坐标系,小球质量为$m$,半径为$R$,有一个绕沿$z$轴正方向的质心轴的角速度$\omega_0$,小球自由下落,下落高度为$h$。

小球第一次与地面碰撞时,受力如下图所示。

小球与地面碰撞之后,反跳,下面求出反跳之后的运动。

设质心速度为$\vec{v}_1$,角速度为$\omega_1$。

反跳的竖直方向速度为

\begin{equation} v_{1y}=\sqrt{2gh} \label{v1y} \end{equation}

由动量定理:

\begin{equation} \int_{t_0}^{t_1}fdt=mv_{1x} \label{newton} \end{equation}

由角动量定理

\begin{equation} R\int_{t_0}^{t_1}fdt=I(\omega_{1}-\omega_0) \label{rotation} \end{equation}

其中$t_0$、$t_1$为小球和地面开始接触和脱离接触的时刻。$I=\frac{2}{5}mR^2$为小球的转动惯量。

又小球在地面上不发生滑动,有

\begin{equation} v_{1x}=R\omega_{1} \label{noslip} \end{equation}

由\eqref{newton}、\eqref{rotation}、\eqref{noslip}三式得

\begin{equation} \omega_1=\frac{\omega_0}{1+\frac{mR^2}{I}} \label{omega1} \end{equation}

由\eqref{newton}、\eqref{rotation}、\eqref{noslip}三式可知,再之后的反跳,角速度将不再改变。两次反跳之间,球质心做斜抛运动,初速度与水平方向夹角为

\begin{equation} \tan\theta=\frac{\sqrt{2gh}}{R\omega_1} \label{theta} \end{equation}

质心在反跳时速度为

\begin{equation} v_1=\sqrt{R^2\omega_1^2+2gh} \label{v1} \end{equation}

质心在两次反跳之间的轨迹为

\begin{equation} y= x \tan\theta - \frac{g}{2v_1^2}(1+\tan\theta^2)x^2 \label{trajectory} \end{equation}

标签: 斜抛运动, 刚体

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