Essential University Physics 20.2 库仑定律

20.2 库仑定律

摩擦一个气球,气球会带上电荷,吸到你的衣服上。再通过摩擦使另外一个气球带上电荷,这两个气球会互相排斥,如图20.1所示。衣物从烘干机里刚取出时,袜子和衣服是粘在一起的。泡沫塑料粘在手上,非常烦人。走过地毯,你摸门把手,常被电击。这些都是你对电荷的直观体验。



图20.1 带同种电荷的气球互相排斥

除了这些明显的现象,电在生活中的影响并不特别显著。其实,电作用力是日常生活中,从汽车运动到肌肉运动,具有支配地位的力。电作用力不明显,只是因为宏观物体整体不带净电荷,即是电中性的。但是在分子尺度上,电作用力就很显著了。如图20.2所示。



图20.2 (a) 盐颗粒是电中性的,电作用力不明显。
(b) 电作用力决定了盐的结构。



约瑟夫·普利斯特里

电荷直接的排斥或吸引意味着力的作用。英国科学家约瑟夫·普利斯特里和法国物理学家查尔斯·奥古斯丁·库仑在18世纪末研究了电荷之间的作用力。他们发现两电荷之间的力的方向沿着两个电荷的连线,力的大小与两电荷电量的乘机成正比,与两电荷距离的平方成反比。这就是库仑定律

\begin{equation} \vec{F}_{12}=\frac{kq_1q_2}{r^2}\hat{r} \quad (库仑定律) \tag{20.1}\label{20.1} \end{equation}

其中$\vec{F}_{12}$为两电荷$q_1$和$q_2$之间的作用力,比例系数$k$在国际单位制中的值为$k=9.0\times 10^9 \mathrm {N\cdot m^2/C^2}$。$r$为两电荷之间的距离,$\hat{r}$为从$q_1$指向$q_2$的单位矢量,用于确定力的方向,如图20.3所示。当两电荷同号时,$\vec{F}_{12}$与$\hat{r}$同向,表示排斥力,当两电荷异号时,$\vec{F}_{12}$与$\hat{r}$反向,表示吸引力。



*图20.3 库仑定律计算$q_1$对$q_2$的作用力$\vec{F}_{12}$*

反过来,$q_2$对$q_1$的作用力$\vec{F}_{21}$与$\vec{F}_{12}$正好方向相反,大小相等。因此库仑定律满足牛顿第三定律。

用库仑定律解题

关键点是注意力是矢量。库仑定律公式\eqref{20.1}同时给出了静电力的大小和方向。当相互作用的电荷多于两个时,一定注意要进行矢量叠加。要注意辨别施力电荷(也称为源电荷)和受力电荷。

如果题目中没有坐标系,要建立合适的坐标系。确定电荷的坐标,以及电荷连线的单位矢量。如图20.4所示。如果要计算$q_1$对$q_3$的作用力,对应的单位矢量就是$\hat{r}=\hat{i}$。如果要计算$q_1$对$q_2$的作用力,对应的单位矢量就是$\hat{r}=\hat{r}_{12}=\frac{\vec{r}_{12}}{r_{12}}=0.8\hat{i}+0.6\hat{j}$。



图20.4 计算单位矢量

然后,带入公式\eqref{20.1}进行计算。

算得结果之后,检查答案是否合理,尤其是判断力的方向是不是表示同种电荷互相排斥异种电荷互相吸引。

课堂练习20.1
|利用库仑定律计算电荷$q_1$对$q_2$的作用力,$q_1$位于$x=1\mathrm m$,$y=0$处,电荷$q_2$位于(a)原点处(b)$x=0$,$y=1\mathrm m$处,分别求这两种情况下,所需的单位矢量。

例题20.1 求两个电荷之间的静电力

一个电量为$1.0\mathrm {\mu C}$的电荷位于$x=1.0\mathrm {cm}$处,另一电量为$-1.5\mathrm {\mu C}$的电荷位于$x=3.0\mathrm {cm}$处。求正电荷对负电荷的作用力。如果两电荷之间的距离扩大为原来的三倍,力如何变化?

分析:沿电荷连线建立$x$轴,正电荷设为$q_1$,位于坐标轴$x=1.0\mathrm {cm}$处,负电荷设为$q_2$,位于坐标轴$x=3.0\mathrm {cm}$处。施力电荷是$q_1$,受力电荷是$q_2$,因此单位矢量$\hat{r}$从$q_1$指向$q_2$,正好是$\hat{i}$。两电荷符号相反,因此力与单位矢量方向相反。

基于这些分析,画出示意图,如图20.5所示。



图20.5 例题示意图

计算:代入公式计算结果

\begin{equation*} \begin{split} \vec{F}_{12}=&\frac{kq_1q_2}{r^2}\hat{r}\\ =&\frac{9.0\times 10^9\times 1.0\times 10^{-6}\times (-1.5\times 10^{-6})}{0.020}\hat{i}\mathrm N\\ =&-34\hat{i}\mathrm N \end{split} \end{equation*}

如果距离增大为原来的3倍,力的大小变为原来$1/3^2$,即$-3.8\hat{i}\mathrm N$。

检查:$q_2$受到的$q_1$的力指向$q_1$,说明是吸引力,结果合理。

概念思考题 万有引力与静电力

基本粒子之间的静电力远大于万有引力,为什么在日常生活中,万有引力的效应更为明显?

我们不妨计算一下质子和电子之间的静电力和万有引力之比。静电力$F_{\mathrm E}=ke^2/r^2$,万有引力$F_{\mathrm g}=Gm_{\mathrm e}m_{\mathrm p}/r^2$,二者之比$F_{\mathrm E}/F_{\mathrm g}=ke^2/(Gm_{\mathrm e}m_{\mathrm p})=2.3\times 10^{39}$!静电力比万有引力大近40个数量级!

分析:万有引力与静电力很类似,都遵循距离的平方反比规律,与质量或电荷的乘机成正比,但二者也有很大的不同:质量只有一种,质量之间只有吸引力,所以巨大的质量(如行星、恒星等天体)之间有很强的力的作用。而电荷有两种,同种电荷互相排斥异种电荷互相吸引,大量聚集的物质倾向于是电中性的,因而静电力不明显。

点电荷和叠加原理

库仑定律只适用于点电荷——本身大小可以忽略的带电体。带电体大小如果远远小于带电体之间的距离,可以将带电体近似看做点电荷。但通常情况下我们需要考虑电荷的具体分布。分子、计算机芯片的存储元件、心脏、雷雨云,等问题中,都需要考虑电荷的分布。我们需要考虑把多个电荷的效应综合起来,得到电荷分布的效应。



图20.6 静电力满足叠加原理

图20.6 为一个最简单的电荷分布,电荷系统只有两个电荷,$q_1$和$q_2$。我们想求这两个电荷对第三个电荷$q_3$的合力。我们可以根据\eqref{20.1}式分别求出$q_1$和$q_2$对$q_3$的力,$\vec{F}_{13}$和$\vec{F}_{23}$,然后算二者的矢量和。这么做的确是对的:$q_1$对$q_3$的力不受$q_2$的存在的影响,反之也一样。这就是静电力的叠加原理。看似很显然,但是,大自然不必如此简单。我们对叠加原理的信心完全来自实验。有了叠加原理,比较复杂的问题,我们可以把系统分成简单的各个部分,分而治之。如果叠加原理不成立,电磁学的数学描述将极其复杂。

例题20.2 雨滴受力

设两个雨滴带等量同号电荷$q$,位于$x$轴上$x=\pm a$处。另有一雨滴,带电量为$Q$,位于$y$轴上任意一点,求$Q$所受静电力。

分析:源电荷是两个$q$,受力电荷是$Q$,应用库仑定律和叠加原理求$Q$受力。

我们画出示意图如图20.7所示,\eqref{20.1}式中的$r$为$\sqrt{a^2+y^2}$。由对称性,易知$Q$所受合力沿$y$轴方向,因此我们只需要计算单位矢量$\hat{r}$的$y$分量。$\hat{r}$的$y$分量为$\hat{r}_y=\frac{y}{\sqrt{a^2+y^2}}$



图20.7 Q受力是各源电荷分别单独存在时施加的力的矢量和

计算:根据库仑定律,各$q$对$Q$的静电力的$y$分量为$F_y=(kqQ/r^2)\hat{r}_y$,$Q$所受合力为

\begin{equation*} \begin{split} \vec{F} =&2\frac{kqQ}{a^2+y^2}\frac{y}{\sqrt{a^2+y^2}}\hat{j}\\ =&\frac{2kqQy}{(a^2+y^2)^{3/2}}\hat{j} \end{split} \end{equation*}

检查:$y=0$时,$\vec{F} =0$,此时,$Q$受到两个大小相等方向相反的力,合力为0,合理。如果$Q$距离$q$非常远,$y\gg a$,$\vec{F} =\frac{2kqQ}{y^2}\hat{j}$,两个电荷$q$可看做一个电量为$2q$的点电荷,合理。介于这两种极限情况之间,随着$Q$到坐标原点的距离的增大,$Q$受力先增大后减小。

图20.7中,我们假设$Q$与$q$同号。其实所得结果也涵盖$Q$与$q$异号的情况。

标签: 库仑定律, 叠加原理

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