瞿立建 发布的文章

耶鲁基础物理2.6圆周运动



现在,我们用微分运算来讨论一个具体例子。

某质点运动学方程如下:

\begin{equation}
\boldsymbol r(t)=R(\boldsymbol i\cos\omega t + \boldsymbol j\sin\omega t)
\label{2.47}\tag{2.47}
\end{equation}

其中,$R$和$\omega$是常数。

这个质点做什么运动?

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耶鲁基础物理2.5位置矢量$\boldsymbol r$的导数



图2.5 质点沿着一曲线路径运动,$t$时刻位于$\boldsymbol r$处,$t+\Delta t$时刻位于$\boldsymbol r+\Delta \boldsymbol r$处。速度$\boldsymbol v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol r}{d t }$,$\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t }$与$\Delta \boldsymbol r$平行,当$\Delta t \to 0$时,速度方向沿曲线切线方向。

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耶鲁基础物理2.4坐标轴的选择与基矢



有一个矢量,它的分量分别为3和5,你能表示出这个矢量吗?

你会马上给出答案:$3\boldsymbol i+5\boldsymbol j$。

你给出这个答案的时候,你已经隐含着一个假设,我会沿水平和竖直方向分别建立$x$、$y$轴,并定义沿坐标轴方向的单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$,用以表示矢量。这是挺自然的事情。可是,就不能建立一套新的坐标轴吗?

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耶鲁基础物理2.3单位矢量



回到平面直角坐标系$x-y$平面。我们将介绍两个特殊的矢量,单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$,分别指向$x$轴和$y$轴的正方向,长度为1,如图2.3所示。

如果还有$z$轴,它与纸面垂直,会相应地定义单位矢量$\boldsymbol k$。现在先不考虑。



图2.3 单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$,它们可用以表示出任一矢量$\boldsymbol A = A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j$。

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耶鲁基础物理2.2 二维矢量



接下来,我们在更高维空间研究运动。

现实世界中,万物都在三维空间运动。

我们先把二维空间讲明白。

我们研究问题,一个好方法是,先研究最简单的情况,搞懂之后,心里有底了,再逐渐增大难度。

一维和二维运动差异很大,而二维和更高维之间的差异却不大。

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耶鲁基础物理1.3运动的平均量和瞬时量



我们来研究这样的物体,从数学上看,它是一个点,没有大小。你把它转动一下,看起来还是一样的。不像土豆,把土豆转一下,看上去会不同。对于土豆,只描述它的位置是不够的,还要给出它的朝向。对于土豆这样的物体,我们后面研究“刚体”的时候再讨论。现在,我们只研究无需考虑空间体积的物体,即一个点,这个点可以在整个空间运动,物理上称为质点,即有质量的点。我们考虑最简单的情况,这个点只沿一条直线运动,设这条直线为$x$轴。

你可以想象一个珠子穿在一条线上,它只能前后移动。这应该就是最简单的运动了。

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