带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动？

球或圆柱体等截面为圆形的物体沿斜面的运动，很多标准的教科书都有详尽的论述。球或圆柱体沿斜面运动，摩擦力是根本影响因素。但是，带有棱角的物体沿斜面的运动，却甚少有讨论。

我们现在讨论带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动。如图1所示。

图1 斜面上的物块的受力示意图。

设物块质量为$m$，物块质心标记为$\mathrm C$，物块与斜面只有一个交点，设交点为$\mathrm A$。物块受到重力$mg$、支持力$N$和摩擦力$f$。设$\mathrm{AC}$连线与支持力$N$夹角为$\phi$，并约定$\mathrm C$位于$\mathrm A$左侧时，$\phi \gt 0$，$\mathrm C$位于$\mathrm A$点右侧时，$\phi \lt 0$。斜面倾角为$\theta$。建立坐标系$xOy$，$x$轴正方向沿斜面向下，$y$轴正方向垂直于斜面向上。物块如果发生转动，设顺时针转动，即沿斜面向下滚动，为滚动正方向，反之，为滚动负方向。设$\mathrm{AC}$长度为$R$，物块相对质心轴的转动惯量可写为$I_{\mathrm C}=mkR^2$，$k$由物块具体质量分布而定，比如，对于质量均匀的立方体物块，$k=1/3$。设物块与斜面之间最大静摩擦系数为$\mu_{\mathrm s}$，动摩擦系数为$\mu_{\mathrm k}$。

图2 斜面上的物块的滑动和转动加速度。

设$\mathrm A$点沿斜面滑动的加速度为$a$，物块滚动角加速度为$\alpha$，由图2易看出，物块质心加速度的$x$分量$a_{\mathrm Cx}$和$y$分量$a_{\mathrm Cy}$分别为：

\begin{equation} \begin{split} & a_{\mathrm Cx}=a+\alpha R \cos \phi \\ & a_{\mathrm Cy}=\alpha R \sin \phi \end{split} \label{aC} \end{equation}

所以，物块动力学方程为：

\begin{equation} \begin{split} & N-mg\cos\theta = m \alpha R \sin \phi\\ & mg\sin\theta - f = ma+m \alpha R \cos \phi \\ & fR \cos \phi-N R \sin \phi = mk R^2 \alpha \end{split} \label{1Dynamics} \end{equation}

物块沿斜面滑动有三种情况：不滑动、沿斜面向下滑动、沿斜面向上滑动。摩擦力有三种情况：静摩擦力（方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下），方向沿斜面向上的动摩擦力，方向沿斜面向下的动摩擦力。对此三种情况，下面分别进行讨论。

物块不滑动

因为物块没有初速度，所以$a=0$，动力学方程\eqref{1Dynamics}变为：

\begin{equation} \begin{split} & N-mg\cos\theta = m \alpha R \sin \phi\\ & mg\sin\theta - f = m \alpha R \cos \phi \\ & fR \cos \phi-N R \sin \phi = mk R^2 \alpha \end{split} \label{1fs} \end{equation}

解之得：

\begin{equation} \begin{split} & N=\frac{mg\cos \theta }{k +1}\left(k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta \right )\\ & f = \frac{mg\sin \theta }{k +1}\left(k+\sin^2 \phi+\sin \phi \cos \phi \cot \theta \right ) \\ & \alpha = \frac{g \sin (\theta -\phi)}{(k +1) R} \end{split} \label{1solfs} \end{equation}

支持力$N$方向只能垂直斜面向上，有$N\ge 0$。摩擦力为静摩擦力，$|f|\le \mu_{\mathrm s}N$，方向可沿斜面向上（$f\gt 0$）也可沿斜面向下（$f\lt 0$）。

如前所述，$\phi$ 有两种情况，我们分别予以讨论。

$\phi \ge 0$

从\eqref{1solfs}式可看出，$N\ge 0$自然成立。

由$|f|=f \le \mu_{\mathrm s}N$得：

\begin{equation} \begin{split} & \frac{mg\sin \theta }{k +1}\left(k+\sin^2 \phi+\sin \phi \cos \phi \cot \theta \right ) \le \\ & \mu_{\mathrm s} \frac{mg\cos \theta }{k +1}\left(k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta \right )\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \tan\theta \frac{k+\sin^2 \phi+\sin \phi \cos \phi \cot \theta}{k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta}\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \frac{(k+\sin^2 \phi)\tan\theta +\sin \phi \cos \phi}{k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta} \end{split} \label{fsphigfs} \end{equation}

由\eqref{1solfs}式，在满足\eqref{fsphigfs}的前提下，当$\theta = \phi$时，$\alpha = 0$，物块将静止于斜面上，当$\theta \gt \phi$时，$\alpha \gt 0$，物块将沿斜面下滚，当$\theta \lt \phi$时，$\alpha \lt 0$，物块将沿斜面上滚。

$\phi \lt 0$

由\eqref{1solfs}式知，$\alpha \gt 0$，物块只会下滚，不会上滚。

由$N\ge 0$得：

\begin{equation} \begin{split} & k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta \ge 0 \\ & \frac{k}{\sin\phi \cos\phi}+\cot\phi + \tan \theta \le 0 \\ & \tan \theta \le -\frac{k}{\sin\phi \cos\phi}-\cot\phi = \tan \theta' \end{split} \label{fsphilN} \end{equation}

由$|f|\le \mu_{\mathrm s}N$得：

\begin{equation} \begin{split} & \frac{mg\sin \theta }{k +1}\left . \right |k+\sin^2 \phi+\sin \phi \cos \phi \cot \theta \left . \right | \le \\ & \mu_{\mathrm s} \frac{mg\cos \theta }{k +1}\left(k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta \right )\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \tan\theta \frac{\left . \right |k+\sin^2 \phi+\sin \phi \cos \phi \cot \theta\left . \right |}{k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta}\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \frac{\left . \right |(k+\sin^2 \phi)\tan\theta +\sin \phi \cos \phi\left . \right |}{k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta}\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \begin{cases} \frac{(k+\sin^2 \phi)\tan\theta +\sin \phi \cos \phi}{k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta},& f\ge 0 \\ -\frac{(k+\sin^2 \phi)\tan\theta +\sin \phi \cos \phi}{k+\cos^2 \phi+\sin\phi \cos \phi \tan \theta},& f\lt 0 \end{cases} \\ & \mu_{\mathrm s} \ge \begin{cases} \frac{\left(\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\tan \phi\right)\tan\theta +1}{\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\cot \phi+ \tan \theta},& f\ge 0 \\ -\frac{\left(\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\tan \phi\right)\tan\theta +1}{\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\cot \phi+ \tan \theta},& f\lt 0 \end{cases}\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \begin{cases} \left(\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\tan \phi\right)\frac{\tan\theta -\tan\theta^*}{\tan \theta-\tan \theta'},& f\ge 0 \\ -\left(\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\tan \phi\right)\frac{\tan\theta -\tan \theta^*}{\tan \theta-\tan \theta'},& f\lt 0 \end{cases} \end{split} \label{fsphilfs} \end{equation}

其中$\tan \theta^{*}=\frac{1}{\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\tan \phi}$。容易证明$\tan \theta^* \le \tan \theta'$

要$f\ge 0$，需$k+\sin^2 \phi+\sin \phi \cos \phi \cot \theta\ge 0$，即$\tan \theta\ge \tan \theta^*$，又由\eqref{fsphilN}式，知物块做无滑滚动的条件是：

\begin{equation} \begin{split} & \tan \theta^* \le \tan \theta \le \tan \theta' \\ & \mu_{\mathrm s} \ge \left(\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\tan \phi\right)\frac{\tan\theta -\tan \theta^*}{\tan \theta-\tan \theta'} \end{split} \label{fsg0phil0} \end{equation}

要$f\lt 0$，需$k+\sin^2 \phi+\sin \phi \cos \phi \cot \theta\lt 0$，即$\tan \theta\lt \tan \theta^*$，\eqref{fsphilN}式自动满足，知物块做无滑滚动的条件是：

\begin{equation} \begin{split} & \tan \theta\lt \tan \theta^* \\ & \mu_{\mathrm s} \ge -\left(\frac{k}{\sin\phi \cos \phi}+\tan \phi\right)\frac{\tan\theta -\tan \theta^*}{\tan \theta-\tan \theta'} \end{split} \label{fsl0phil0} \end{equation}

物块向下滑动

物块向下滑动，$a\gt 0$，摩擦力为方向沿斜面向上的动摩擦力，$f=\mu_{\mathrm k}N$，动力学方程\eqref{1Dynamics}变为：

\begin{equation} \begin{split} & N-mg\cos\theta = m \alpha R \sin \phi\\ & mg\sin\theta - \mu_{\mathrm k}N = ma+m \alpha R \cos \phi \\ & \mu_{\mathrm k}NR \cos \phi-N R \sin \phi = mk R^2 \alpha \end{split} \label{1fk+} \end{equation}

解之得：

\begin{equation} \begin{split} & N = \frac{m g k \cos \theta }{k -\mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi +\sin ^2\phi }\\ &a =g \sin\theta + g \cos\theta \frac{\sin \phi \cos \phi - \mu_{\mathrm k} (k+\cos^2\phi) }{k +\sin^2 \phi - \mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi} \\ & \alpha = \frac{g \cos \theta }{R\sin \phi}\frac{ \mu_{\mathrm k} - \tan \phi}{ \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \tan \phi -\mu_{\mathrm k} } \end{split} \label{1solfk+} \end{equation}

$\phi$ 有两种情况，分别予以讨论。

$\phi \gt 0$

由$N\ge 0$，得：

\begin{equation} \begin{split} & k -\mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi +\sin ^2\phi \gt 0 \\ & \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \tan \phi -\mu_{\mathrm k} \gt 0 \\ & \mu_{\mathrm k} \lt \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \tan \phi = \mu^* \end{split} \label{fkphigN} \end{equation}

由$a\ge 0$得：

\begin{equation} \begin{split} & g \sin\theta + g \cos\theta \frac{\sin \phi \cos \phi - \mu_{\mathrm k} (k+\cos^2\phi) }{k +\sin^2 \phi - \mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi} \ge 0\\ & \tan\theta + \frac{\sin \phi \cos \phi - \mu_{\mathrm k} (k+\cos^2\phi) }{k +\sin^2 \phi - \mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi}\ge 0\\ & \mu_{\mathrm k}\le \frac{(k+\sin^2\phi)\tan\theta+\sin \phi\cos \phi}{k+\cos^2\phi+\sin \phi\cos \phi\tan\theta} \end{split} \label{fkphiga} \end{equation}

函数$f(\tan\theta)=\frac{(k+\sin^2\phi)\tan\theta+\sin \phi\cos \phi}{k+\cos^2\phi+\sin \phi\cos \phi\tan\theta}$是$\tan\theta$的增函数，可以证明：$f(0)=\mu'= \left ( \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \cot \phi\right)^{-1}$，$f(\tan\phi)= \tan\phi $，$ f(\tan \pi/2)= \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \tan \phi = \mu^*$。

$\alpha$ 有两种情形。

第一种情况，$\alpha \ge 0$，物块下滚，有：

\begin{equation} \begin{split} & \frac{g \cos \theta }{R\sin \phi}\frac{ \mu_{\mathrm k} - \tan \phi}{ \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \tan \phi -\mu_{\mathrm k} } \ge 0 \\ & \tan \phi \le \mu_{\mathrm k}\le \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \tan \phi \end{split} \label{fkphigalphag} \end{equation}

上式中用到\eqref{fkphigN}式。

结合\eqref{fkphiga}式，物块下滑下滚的条件为：

\begin{equation} \tan \phi \le \mu_{\mathrm k}\le \frac{(k+\sin^2\phi)\tan\theta+\sin \phi\cos \phi}{k+\cos^2\phi+\sin \phi\cos \phi\tan\theta} \label{rolldownslidown} \end{equation}

第二种情况，$\alpha \lt 0$，物块上滚，有：

\begin{equation} \begin{split} & \frac{g \cos \theta }{R\sin \phi}\frac{ \mu_{\mathrm k} - \tan \phi}{ \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \tan \phi -\mu_{\mathrm k} } \lt 0 \\ & \mu_{\mathrm k}\lt \tan \phi \end{split} \label{fkphigalphal} \end{equation}

结合\eqref{fkphiga}式，物体上滚的条件为：

\begin{equation} \begin{split} & \mu_{\mathrm k}\lt \tan \phi ,\quad \phi \lt \theta \\ & \mu_{\mathrm k}\lt \frac{(k+\sin^2\phi)\tan\theta+\sin \phi\cos \phi}{k+\cos^2\phi+\sin \phi\cos \phi\tan\theta},\quad \phi \gt \theta \end{split} \label{rollupslidown} \end{equation}

$\phi \lt 0$

由\eqref{1solfk+}式，$N\ge 0$自动满足，$\alpha \ge 0$一定成立。

再看$a\gt 0$，由\eqref{1solfk+}式，有：

\begin{equation} \begin{split} & g \sin\theta + g \cos\theta \frac{\sin \phi \cos \phi - \mu_{\mathrm k} (k+\cos^2\phi) }{k +\sin^2 \phi - \mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi} \ge 0\\ & \tan\theta + \frac{\sin \phi \cos \phi - \mu_{\mathrm k} (k+\cos^2\phi) }{k +\sin^2 \phi - \mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi}\ge 0\\ & (k+\sin^2\phi)\tan\theta+\sin \phi\cos \phi-(k+\cos^2\phi+\sin \phi\cos \phi\tan\theta)\mu_{\mathrm k} \ge 0 \end{split} \label{fkphila} \end{equation}

如果$k+\cos^2\phi+\sin \phi\cos \phi\tan\theta \le 0$，即$\tan\theta\ge - \frac{k}{\sin\phi\cos\phi} - \cot \phi = \tan \theta'$，$a\ge 0$ 成立。

如果$\tan\theta \lt \tan\theta'$，$a\ge 0$ 要求 $\mu_{\mathrm k}\le \frac{(k+\sin^2\phi)\tan\theta+\sin \phi\cos \phi}{k+\cos^2\phi+\sin \phi\cos \phi\tan\theta} $ 。

综上，物块下滑下滚，并要求$\tan\theta\ge - \frac{k}{\sin\phi\cos\phi} - \cot \phi = \tan \theta'$或$\tan\theta \lt \tan\theta'$ 且 $\mu_{\mathrm k}\le \frac{(\eta+\sin^2\beta)\tan\theta+\sin \beta\cos \beta}{\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta} $

物块向上滑动

物块向上滑动，$a\lt 0$，摩擦力为方向沿斜面向下的动摩擦力，$f=-\mu_{\mathrm k}N$，动力学方程\eqref{1Dynamics}变为：

\begin{equation} \begin{split} & N-mg\cos\theta = m \alpha R \sin \phi\\ & mg\sin\theta + \mu_{\mathrm k}N = ma+m \alpha R \cos \phi \\ & -\mu_{\mathrm k}NR \cos \phi-N R \sin \phi = mk R^2 \alpha \end{split} \label{1fk-} \end{equation}

$\phi \gt 0$

方程\eqref{1fk-}不成立，即此时物块不可能上滑。

$\phi \lt 0$

将\eqref{1solfk+}中的$\mu_{\mathrm k}$换成$-\mu_{\mathrm k}$，即是\eqref{1fk-}的解：

\begin{equation} \begin{split} & N = \frac{m g k \cos \theta }{k +\mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi +\sin ^2\phi }\\ &a =g \sin\theta + g \cos\theta \frac{\sin \phi \cos \phi + \mu_{\mathrm k} (k+\cos^2\phi) }{k +\sin^2 \phi + \mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi} \\ & \alpha = \frac{g \cos \theta }{R\sin \phi}\frac{ -\mu_{\mathrm k} - \tan \phi}{ \frac{k}{\sin \phi\cos \phi} + \tan \phi + \mu_{\mathrm k} } \end{split} \label{1solfk-} \end{equation}

由$N\ge 0$，得：

\begin{equation} \mu_{\mathrm k} \le -\frac{k}{\sin\phi \cos\phi}-\tan\phi=\mu^* \label{Ngt0} \end{equation}

由$a\lt 0$，得：

\begin{equation} \begin{split} & \frac{\tan \theta (k +\mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi +\sin ^2\phi) +\sin \phi \cos \phi + \mu_{\mathrm k} (k+\cos^2\phi) }{k +\mu_{\mathrm k} \sin \phi \cos \phi +\sin ^2\phi }\lt 0 \\ & \frac{\left( \frac{k}{\sin\phi \cos\phi}+\tan\phi +\mu_{\mathrm k}\right )\tan\theta +1 +\mu_{\mathrm k}\left( \frac{k}{\sin\phi \cos\phi}+\cot\phi \right )}{\frac{k}{\sin \phi\cos \phi} +\mu_{\mathrm k} + \tan \phi} \lt 0 \\ & \left( \frac{k}{\sin\phi \cos\phi}+\tan\phi +\mu_{\mathrm k}\right )\tan\theta +1 +\mu_{\mathrm k}\left( \frac{k}{\sin\phi \cos\phi}+\cot\phi \right ) \gt 0 \\ &\mu_{\mathrm k}(\tan\theta'-\tan\theta)\lt 1-\cot\theta^* \tan \theta \end{split} \label{alt0} \end{equation}

这里$\tan\theta'=-\frac{k}{\sin\phi \cos\phi}-\cot\phi$，$\tan\theta^{*}=-\frac{1}{\frac{k}{\sin\phi \cos\phi}+\tan\phi }$，由$\tan\theta'/\tan\theta^{*}=(k/\sin\phi \cos\phi)^2+k/\sin\phi \cos\phi(\tan\phi+\cot\phi)+1\gt 1$，知$\theta^{*} \lt \theta'$，于是$\theta\lt \theta^{*} \lt \theta'$或$\theta^{*} \lt \theta' \lt \theta$，第二个不等式下有

\begin{equation} \mu_{\mathrm k} \gt\frac{\tan \theta^* - \tan \theta}{\tan\theta'-\tan\theta}\cot\theta^*\gt -\frac{k}{\sin\phi \cos\phi}-\tan\phi \label{incom} \end{equation}

与\eqref{Ngt0}式矛盾，舍去，得体系要满足如下条件：

\begin{equation} \begin{split} & \tan\theta \lt \tan\theta^* \\ & \mu_{\mathrm k} \lt\frac{\tan \theta^* - \tan \theta}{\tan\theta'-\tan\theta}\cot\theta^* \end{split} \label{alt0cond} \end{equation}

易看出$\alpha \ge 0$。物块做下滚上滑运动。

总结

以上结果可总结在下图中。

$\phi \ge 0$

$\phi \lt 0$