耶鲁基础物理4.7圆周运动 转圈



图4.5 左图为物体被绳子吊着做圆周运动,在水平面内左半径为$R$的圆周运动,吊绳与竖直方向夹角为$\theta$。右图为赛车在左半径为$R$的圆形赛道上行驶,赛道倾角为$\theta$。符号$\otimes$表示物体向纸面以内运动。

现在我们研究各种圆周运动。

首先看图4.5中的A图,物体被绳子吊着做圆周运动,绳子与竖直方向有个夹角$\theta$,这个角度与圆周运动速率为$v$和轨道半径为$R$有什么关系?

首先分析物体受力。

物体受重力$mg$,方向竖直向下。还有绳子的拉$T$,方向沿着绳子。

绳子拉力$T$分解为一个竖直分量$T_y=T\cos\theta$和一个水平分量$T_x=T\sin\theta$。

根据牛顿第二定律,列出方程.。

沿竖直方向:

\begin{equation} T\cos\theta-mg=0 \label{4.33}\tag{4.33} \end{equation}

在水平方向:

\begin{equation} T\sin\theta=ma=m\frac{v^2}{R} \label{4.34}\tag{4.34} \end{equation}

第一个方程中,我们假设物体在水平方向做圆周运动,在竖直方向上没有加速度。

第二个方程,我们在2.7节讲过,物体做圆周运动,向心加速度是$v^2/R$。

消去$T$,得$\theta$:

\begin{equation} \tan\theta=ma=\frac{v^2}{Rg} \label{4.35}\tag{4.35} \end{equation}

绳子中的张力是多少?

利用$T=\sqrt{T_x^2+T_y^2}$,得

\begin{equation} T=mg\sqrt{1+\left(\frac{v^2}{Rg} \right)^2} \label{4.36}\tag{4.36} \end{equation}

再说一个有趣的例子。

你驾车在半径为$R$的圆形赛道上形式,速率为v。假设道路所在平面是严格水平的。车受到的力一定是$m v^2/R$,这样轨迹才能弯成圆。那么,这个力是哪来的?

当然是路面提供这个力,它正是静摩擦力$f\leq \mu_s mg$,方向指向圆心。

汽车在动,不应该是动摩擦力吗?

这个力是沿径向的力,而汽车沿径向并没有速度,除非发生侧滑,所以是静摩擦力。

有必要再提示一下,汽车不一定必须在一个完整的圆形轨道上运动,我们只需在这个瞬间其轨道是某个半径为$R$的圆周的一部分即可。

如果静摩擦力不足够大,$\mu_s mg < m v^2/R$,汽车将不能沿曲线运动,会飞出去。不过,有个聪明的方法,即便没有静摩擦力,你也可以转弯。这个方法就是,使路面倾斜一个角度$\theta$,如图4.5右图所示。

想象一下,汽车现在的行驶方向为垂直纸面向里,汽车受力情况如何?

重力$mg$,还有路面的支持力$N$,将$N$分解为竖直分力$N\cos\theta$和水平分力$N\sin\theta$,水平分力指向圆心。根据牛顿第二定律,有

\begin{equation} N\cos\theta-mg=0 \label{4.37}\tag{4.37} \end{equation}

\begin{equation} N\sin\theta=ma=m\frac{v^2}{R} \label{4.38}\tag{4.38} \end{equation}

消去$N$,得倾角为

\begin{equation} \tan\theta=ma=\frac{v^2}{Rg} \label{4.39}\tag{4.39} \end{equation}

你想要汽车以某个速度驶过弯道,如果弯道倾角满足\eqref{4.39}式,你转弯不需要任何摩擦力。转弯所需的向心力由路面支持力的一个分力提供。

最后一个例题,我们看转圈的问题,它挑战你的常识。



图4.6 过山车从高度$H$处沿轨道滑下,进入竖直平面内的圆轨道。过山车位于圆轨道顶部时,重力$mg$竖直向下,受到轨道施加的力也是竖直向下的,它为什么不会掉下来?过山车向下落了,解释见正文。插图中为三个速度矢量组成的三角形,其中$\boldsymbol v-\Delta \boldsymbol v/2$,在圆轨道顶端处很小的时间间隔内速度增量为$\Delta \boldsymbol v$,刚刚通过顶端后的速度为$\boldsymbol v+\Delta \boldsymbol v/2$。

如图4.6,过山车沿着轨道从高为$H$的地方滑下,进入竖直平面内的圆轨道,在某个时刻,你会头朝下,请问:你为什么没掉下来?

牛顿第二定律可以解释这个问题。

先看过山车受力,重力$mg$,方向竖直向下,还有轨道施加的作用力$N$,方向也是竖直向下,坐过山车好危险!

过山车为什么没掉下来?

答案是,的确在掉,过山车有向下的加速度。但这不意味着,过山车会离圆心更近,$mg$和$N$这两个力合在一起使过山车在圆轨道上运动,提供了所需的向心加速度:

\begin{equation} N+mg=ma=m\frac{v^2}{R} \label{4.40}\tag{4.40} \end{equation}

解出$N$,得

\begin{equation} N=m\left(\frac{v^2}{R}-g\right) \label{4.41}\tag{4.41} \end{equation}

如果$N>0$,按我们的约定,它的方向向下,此时$v^2/R>g$,我们是安全的。

如果$N<0$,即

\begin{equation} v^2/R\lt g \label{4.42}\tag{4.42} \end{equation}

意味着$N$的方向向上,这是不可能的,除非还有其他机制,比如轨道下方安装有T支架,过山车倒转能拉住过山车。实际的过山车存在这东西,以防止过山车被困在轨道顶部或者速度不够快。在我们的理想模型中,没有这些设备,要保证过山车安全通过,过山车速度必须满足

\begin{equation} v^2/R>g \label{4.43}\tag{4.43} \end{equation}

现在,我们再深入解释一下,为什么加速度向下不总意味着会在指向地球方向获得速率。

如果你松手掉下一个苹果,它的加速度向下,它将在沿着地面的方向获得速率。事实正是这样,苹果初速度是零,沿竖直向下的方向,速率一直增大。

我们例题中的过山车,在顶端的一瞬间,加速度也是竖直向下,在一个微小的时间间隔内,速度有一个微小的增量$\Delta \boldsymbol v$,这个增量方向是竖直向下,也即沿径向向下。设这个微小的时间间隔内过山车初速度为$\boldsymbol v$,方向水平向左,则末时刻的速度为$\boldsymbol v+\Delta \boldsymbol v$。我们看看速度大小的改变,求一下末速度的平方:

\begin{align} |\boldsymbol v+\Delta \boldsymbol v|^2 = & (\boldsymbol v+\Delta \boldsymbol v) \cdot (\boldsymbol v+\Delta \boldsymbol v) \tag{4.44} \\ = & \boldsymbol v \cdot \boldsymbol v + 2\boldsymbol v \cdot \Delta \boldsymbol v + \Delta \boldsymbol v \cdot \Delta \boldsymbol v \tag{4.45} \\ = & v^2 + 2\boldsymbol v \cdot \Delta \boldsymbol v + |\Delta \boldsymbol v|^2 \tag{4.46} \end{align}

\begin{equation} \Delta v^2=2\boldsymbol v \cdot \Delta \boldsymbol v + |\Delta \boldsymbol v|^2 \label{4.47}\tag{4.47} \end{equation}

\begin{equation} \frac{\mathrm dv^2}{\mathrm dt}=2\boldsymbol v \cdot \frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt}=2\boldsymbol v \cdot \boldsymbol a \label{4.48}\tag{4.48} \end{equation}

因此,如果$\Delta \boldsymbol v$以及加速度$\boldsymbol a$和速度$\boldsymbol v$垂直,速度大小将不变,圆周运动过程中每一时刻都恰恰如此。速度方向一直在旋转,一直沿圆周的切线方向,加速度却始终指向圆心,但做圆周运动的质点却不向圆心靠近。

对这个现象再举一例。



图4.7 从塔上发射两颗子弹,速率越大,子弹落地的距离就越远(点1和点2)。发射速率大于某个临界值后,子弹将会成为地球的卫星,绕着地球一直做圆周运动,且会永远不停地向着地球中心加速。

如图4.7所示,你站在高塔上,沿水平方向放枪,在重力的作用下,子弹会落在地面上的1点。如果换威力更大的枪,子弹出射速率更大,将会落在稍远的2点。

一直增大子弹的出射速率,会出现一个临界速率,子弹会持续下落,但不会回到地面上,因为地面也是弯的,也以同样的速率“下落”,此时,子弹就进入了如图所示的圆轨道。

以这样的速率来枪之后,你要做的第一件事是什么?

向一边躲开,因为子弹会在84分钟后回来,以1.609km/h的速度从背后击中你。当然,这个结果没有考虑空气的阻力。

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