耶鲁基础物理4.5斜面



图4.3 物体位于斜面上。左图中无摩擦力,右图中有摩擦力。

斜面进入物理习题是物理学习噩梦的开始。但我们还是要讲斜面。为什么?成心给学生找罪受?

不是为了难为学生,是为成就学生,这是入门的门票,学懂这个,才可能学懂更高层次的内容。

现在开始处理这个声名狼藉的问题。质量为$m$的物体位于斜面上,斜面倾角为$\theta$,如图4.3左图所示。我们知道,物体会沿斜面向下滑动,可是,我们想要了解得更精确一些。牛顿定律的目的就在于将我们直观感受的事情定量化。

关于斜面问题,第一个新东西在于我们的$x、y$坐标轴的取法,使坐标轴分别平行于和垂直于斜面方向。这样处理问题方便。

物体受到什么力的作用呢?

先处理接触力。与这个物体相接触的只有斜面。斜面可以沿斜面方向和垂直于斜面方向施力。先假设没有摩擦力,这样斜面对物体只有法向的支持力$N$,沿斜面方向没有力的作用。物体还受到一个力的作用,那就是重力$mg$。物体将在这两个力的作用下运动。

我们从竖直向下的$mg$入手,将它沿$x、y$坐标轴分解。这叫做力的分解。还要注意到一点,斜面法线与竖直方向夹角等于斜面倾角$\theta$。

根据牛顿第二定律列出方程:

\begin{equation} mg\sin\theta=ma_x \label{4.16}\tag{4.16} \end{equation}

\begin{equation} N-mg\cos\theta=ma_y \label{4.17}\tag{4.17} \end{equation}

现在,我们知道物体将沿斜面下滑,它没有陷入斜面,也没有从斜面飞起来。这就是我们将$y$轴垂直于斜面的道理所在,物体的$y$坐标不变。如果按传统方式建立坐标系,$x、y$坐标都要变化。

\eqref{4.17}式中$a_y=0$,因此有

\begin{equation} N=mg\cos\theta \label{4.18}\tag{4.18} \end{equation}

结合\eqref{4.16}式,消去$m$,得加速度

\begin{equation} a_x=g\sin\theta \label{4.19}\tag{4.19} \end{equation}

这是一个重要的结论:物体沿斜面下滑的加速度为$g\sin \theta$。这提供了一个测量$g$的好方法。如果沿竖直方向扔一个物体,它运动得太快,不好计时。但是,如果使物体沿斜面下滑,再使$\theta$非常小,你就可以把物体的加速度减小一个因子$\sin \theta$。

这里,再补充一件事,推演物理问题,要一直算到最后一步,才代入数字计算结果。如果已知斜面倾角 $\theta=37^{\circ}$,$g=9.8\mathrm{m/s^2}$,不要从第一个方程就将数字代入。有些同学对符号运算还不习惯,要尽快习惯。

采用符号计算,最后一步才代入数字,这有很多好处。

首先,如果你已经代入数字运算了,我突然说:“嘿,倾角搞错了,不是$37^{\circ}$,而是$39^{\circ}$。”你就不得不把整个计算全部重做一遍。如果你先用符号推导出了a_x的公式,然后问我“$\theta$是多大?”把我告诉你的数代入即可。如果有人把$g$的测量改进了,有了更精确的数字,代入新的$g$值即可。

其次,便于检查答案。如果你得到的结果是$a_x=g^2\sin \theta$,
马上就看出,答案不对,两边单位不匹配。你或许搞错三角函数,得到结果$a_x=g\cos \theta$,你也可以做一些检验。若 $\theta=0$,应有$a_x= 0$,但现在所得结果没这个行为,很可能是错的。或者令 $\theta =\pi/2$,斜面几乎竖直,加速度应$a_x=g$,这也可以看出所得答案很可能是错的。

最后,可以洞察物理。比如本例题的结果,$a_x=g\sin \theta$,与质量$m$无关,这个性质很有趣,但数字结果不会让你注意到这个性质。

因此,我们要求使用符号进行推导,一直到最后为止。

现在,我们引入摩擦力,如图4.3 右图所示。

设物体静止于斜面上,想象在斜面上装上铰链,我可以将斜面倾角从$0$变化到$\pi/2$,我想知道物体何时开始下滑。

根据牛顿定律,列出方程:

\begin{equation} mg\sin\theta-f=ma_x \label{4.20}\tag{4.20} \end{equation}

\begin{equation} N-mg\cos\theta=ma_y \label{4.21}\tag{4.21} \end{equation}

第一个方程和以前一样,因为$a_y=0$,所以

\begin{equation} N=mg\cos\theta \label{4.22}\tag{4.22} \end{equation}

第二个方程没有用$f=\mu_{\mathrm s} N$,因为摩擦力并不总是$\mu_{\mathrm s} N$,这只是摩擦力最大值,摩擦力取值要保证物体静止。因$a_x=0$,得$f=m g\sin \theta$。

把斜面倾角慢慢增大,物体恰好开始滑动时,斜面倾角为 $\theta^*$,此式,摩擦力取最大值,因此,得

\begin{equation} m g\sin \theta^*=\mu_{\mathrm s} N=\mu_{\mathrm s} mg\cos\theta^* \label{4.23}\tag{4.23} \end{equation}

这为我们提供了一个测量$\mu_{\mathrm s}$的方法:

\begin{equation} \mu_{\mathrm s} =\tan\theta^* \label{4.24}\tag{4.24} \end{equation}

质量又一次被消去了。所以,只要$\mu_{\mathrm s}$相同,在斜面上停车与车有多重没有关系。还注意到g也消掉了,所以,无论把车停在地球上还是其他星球上,都只需要满足相同的制约条件$\tan \theta<=\mu_{\mathrm s}$。

若超出了这个限制,当$\tan \theta>\mu_{\mathrm s}$时,这个物体会下滑,摩擦力变为动摩擦力,大小为$\mu_{\mathrm k} N$,方向与速度相反,且$\mu_{\mathrm k}<\mu_{\mathrm s}$,所以物体有沿斜面向下的非零加速度。

根据牛顿定律,列出方程:

\begin{equation} mg\sin\theta-\mu_{\mathrm k} N=ma_x \label{4.25}\tag{4.25} \end{equation}

\begin{equation} N-mg\cos\theta=ma_y \label{4.26}\tag{4.26} \end{equation}

物体在y方向加速度$a_y=0$,由\eqref{4.25}式得$N=mg\cos \theta$,代入$x$方向的方程\eqref{4.26},得物体下滑的加速度:

\begin{equation} mg\sin\theta-\mu_{\mathrm k} mg\cos\theta=ma_x \label{4.27}\tag{4.27} \end{equation}

\begin{equation} a_x=g(\sin\theta-\mu_{\mathrm k} \cos\theta) \label{4.28}\tag{4.28} \end{equation}

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