当跨过阿特伍德机的绳子的质量不可忽略……

来源:渭南师专学报 1986年第1期



阿特伍德机如上图所示, 一条长为$L$的匀质绳子, 单位长度质量为$\lambda$,跨过一轴承光滑的定滑轮, 绳的两端分别悬有质量为$M_1$和$M_2$的物体, 滑轮质量M, 半径r ,视为匀质圆盘。绳子总质量为$m$,其中伸直部分质量分别为$m_1$和$m_2$,搭在滑轮上的部分的质量为$\Delta m$。阿特伍德机上所挂物体如何运动?

体系各物体受力与力矩如下图所示,



设物体加速度大小为$a$,滑轮角加速度为$\beta$,由以下方程可解出体系的运动情况:

\begin{equation} T_1-(m_1+M_1)g=(m_1+M_1)a \label{newton1} \end{equation}

\begin{equation} (m_2+M_2)g-T_2=(m_2+M_2)a \label{newton2} \end{equation}

\begin{equation} T'_2r-T'_1r-M_{f'}=\Delta m r^2 \beta \label{rotation1} \end{equation}

\begin{equation} M_{f}=\frac{1}{2}M r^2 \beta \label{rotation2} \end{equation}

由\eqref{rotation1}、\eqref{rotation2}知,当不计绳子质量时,摩擦力力矩恰等于张力力矩。这正是常规习题中直接采用的结果。严格来讲,滑轮所受力矩为静摩擦力力矩,不是张力力矩。

绳子不打滑,有

\begin{equation} a=\beta r \label{noslip} \end{equation}

设绳子移动的距离$x$,又有

\begin{equation} m_1=m_{10}-\lambda x \label{m1} \end{equation}

\begin{equation} m_2=m_{20}+\lambda x \label{m2} \end{equation}

由以上各式,得

\begin{equation} a=\frac{(M_2+m_{20})-(M_1+m_{10})+2\lambda x}{M_1+M_2+m+\frac{M}{2}}g=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx} \label{a} \end{equation}

设初始时刻系统静止,$v(x=0)=0$,由\eqref{a}式可得

\begin{equation} v(x)=\sqrt{\frac{[(M_2+m_{20})-(M_1+m_{10})]x+\lambda x^2}{M_1+M_2+m+\frac{M}{2}}(2g)}=\frac{dx}{dt} \label{vx} \end{equation}

解上式得

\begin{equation} x=\frac{(M_2+m_{20})-(M_1+m_{10})}{2\lambda}\left(\cosh\sqrt{\frac{2\lambda g}{M_1+M_2+m+\frac{M}{2}}}t -1\right) \label{xt} \end{equation}

如果令$\lambda=0$,以上结果回到轻绳情形的结果。

标签: 阿特伍德机, 钢体

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