图2.5 质点沿着一曲线路径运动，$t$时刻位于$\boldsymbol r$处，$t+\Delta t$时刻位于$\boldsymbol r+\Delta \boldsymbol r$处。速度$\boldsymbol v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol r}{d t }$，$\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t }$与$\Delta \boldsymbol r$平行，当$\Delta t \to 0$时，速度方向沿曲线切线方向。 [...]
耶鲁基础物理2.4坐标轴的选择与基矢
有一个矢量，它的分量分别为3和5，你能表示出这个矢量吗？ 你会马上给出答案：$3\boldsymbol i+5\boldsymbol j$。 你给出这个答案的时候，你已经隐含着一个假设，我会沿水平和竖直方向分别建立$x$、$y$轴，并定义沿坐标轴方向的单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，用以表示矢量。这是挺自然的事情。可是，就不能建立一套新的坐标轴吗？ [...]
回到平面直角坐标系$x-y$平面。我们将介绍两个特殊的矢量，单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，分别指向$x$轴和$y$轴的正方向，长度为1，如图2.3所示。 如果还有$z$轴，它与纸面垂直，会相应地定义单位矢量$\boldsymbol k$。现在先不考虑。 图2.3 单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$，它们可用以表示出任一矢量$\boldsymbol A = A_x \boldsymbol i + A_y \boldsymbol j$。 [...]
接下来，我们在更高维空间研究运动。 现实世界中，万物都在三维空间运动。 我们先把二维空间讲明白。 我们研究问题，一个好方法是，先研究最简单的情况，搞懂之后，心里有底了，再逐渐增大难度。 一维和二维运动差异很大，而二维和更高维之间的差异却不大。 [...]
泰勒斯定理说的是： 直径所对的圆周角是直角 下面用矢量来证明之。 [...]
三个矢量表示三角形三条边 如上图所示，三角形三条边边长分别为$a$、$b$、$c$，它们所对的角分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$，沿三条边分别赋予矢量$\mathbf a$、$\mathbf b$、$\mathbf c$，在上图中$\mathbf c=\mathbf a-\mathbf b$。根据矢量运算可证明余弦定理和正弦定理。 [...]
Essential University Physics 20.4 电荷分布的电场
20.4 电荷分布的电场 既然电场力满足叠加原理，那么电场也满足叠加原理。一个电荷分布的电场是各点电荷单独存在时的电场的矢量和。 \begin{equation} \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3+\cdots=\sum_i\vec{E}_i=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^2}\hat{r}_i \quad (电场满足叠加原理) \tag{20.4}\label{20.4} \end{equation} [...]
一般运算 $\vec{\mathrm A}\cdot(\vec{\mathrm B}\times\vec{\mathrm C})=(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})\cdot\vec{\mathrm C}=\vec{\mathrm C}\cdot(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm A})\cdot\vec{\mathrm B}=\vec{\mathrm B}\cdot(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm A})$ $\vec{\mathrm A}\times(\vec{\mathrm B}\times\vec{\mathrm C})=\vec{\mathrm B}(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm C})-\vec{\mathrm C}(\vec{\mathrm A}\cdot\vec{\mathrm B})$ $(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})\cdot(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm D})=(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm C})(\vec{\mathrm B}\cdot\vec{\mathrm D})-(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm D})(\vec{\mathrm B}\cdot\vec{\mathrm C})$ 和之导数 $\nabla(f+g)=\nabla f + \nabla g$ $\nabla\cdot(\vec{\mathrm A}+\vec{\mathrm B})=\nabla\cdot\vec{\mathrm A}+\nabla\cdot\vec{\mathrm B}$ $\nabla\times(\vec{\mathrm A}+\vec{\mathrm B})=\nabla\times\vec{\mathrm A}+\nabla\times\vec{\mathrm B}$ 积之导数 $\nabla(fg)=f\nabla g + g\nabla f$ $\nabla(\vec{\mathrm A}\cdot\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm A}\times(\nabla\times \vec{\mathrm B})+\vec{\mathrm B}\times(\nabla\times \vec{\mathrm A})+(\vec{\mathrm A}\cdot\nabla)\vec{\mathrm B}+(\vec{\mathrm B}\cdot\nabla)\vec{\mathrm A}$ $\nabla\cdot(f\vec{\mathrm A})=f(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})+\vec{\mathrm A}\cdot\nabla f$ $\nabla\cdot(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm B}\cdot(\nabla\times \vec{\mathrm A})-\vec{\mathrm A}\cdot(\nabla\times \vec{\mathrm B})$ $\nabla\times(f\vec{\mathrm A})=f(\nabla\times\vec{\mathrm A})-\vec{\mathrm A}\times\nabla f$ $\nabla\times(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm A}(\nabla\cdot\vec{\mathrm B})-\vec{\mathrm B}(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})+(\vec{\mathrm B}\cdot\nabla)\vec{\mathrm A}-(\vec{\mathrm A}\cdot\nabla)\vec{\mathrm B}$ 二阶导数 $\nabla\times(\nabla\times\vec{\mathrm A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})-\nabla^2\vec{\mathrm A}$ $\nabla\cdot(\nabla\times\vec{\mathrm A})=0$ $\nabla\times(\nabla f)=0$ 积分定理 $\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}(\nabla f)\cdot d\vec{l}=f(\mathrm b)-f(\mathrm a)$ $\int_V(f\nabla^2g-g\nabla^2f)dV=\oint_S(f\nabla g-g\nabla f)\cdot\hat{n}dS$ 高斯散度定理： $\int_V\nabla\cdot\vec{\mathrm A}dV=\oint_S\vec{\mathrm A}\cdot\hat{n}dS$ 斯托克斯定理 $\int_S(\nabla\times\vec{\mathrm A})\cdot\hat{n}dS=\oint_C\vec{\mathrm A}\cdot d\vec{l}$
全书中文翻译。改正了书中的一些错误。 理论物理极础1. 经典物理的本性 理论物理极础之插播数学1：空间、三角、矢量 理论物理极础2. 运动 理论物理极础之插播数学2：积分 理论物理极础3：动力学 理论物理极础之插播数学3：偏微分 理论物理极础4：质点系 理论物理极础5：能量 理论物理极础6：最小作用量原理 理论物理极础7：对称性与守恒定律 理论物理极础8：哈密顿力学和时间平移不变性 理论物理极础9：相空间流体和吉布斯-刘维尔定理 理论物理极础10：泊松括号，角动量和对称性 理论物理极础11：电力和磁力 理论物理极础附录：有心力和行星轨道
理论物理极础之插播数学1：空间、三角、矢量