人造地球卫星由于受到空气阻力，速度和轨道半径会如何变化？

“东方红一号”，中国第一颗人造卫星

人造地球卫星绕地球作圆周运动, 由于受到空气摩擦阻力, 人造卫星速度是变大还是变小？轨道半径是变大还是变小？

设地球和人造卫星的质量分别为$M$、$m$，万有引力常数为$G$，人造地球卫星速度为$v$，轨道半径为$r$，人造卫星机械能为：

\begin{equation} E=-G\frac{Mm}{r}+\frac{1}{2}mv^2 \label{E} \end{equation}

人造卫星做圆周运动，有：

\begin{equation} G\frac{Mm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \label{circular} \end{equation}

在一个极短的时间$dt$内，空气阻力做功$dW_f \lt 0$，根据功能原理，有：

\begin{equation} dW_f=dE=G\frac{Mm}{r^2}dr+mvdv \label{WE} \end{equation}

由 \eqref{circular}式，得

\begin{equation} -G\frac{Mm}{r^2}dr=2mvdv \label{dcircular} \end{equation}

将\eqref{dcircular}式代入\eqref{WE}式，得

\begin{equation} dW_f=-mvdv \lt 0 \label{dWE} \end{equation}

所以，$dv\gt 0$，即卫星速度将增大，由\eqref{dcircular}式，$dr\lt 0$，即轨道半径将减小。