轴对称体系泊松-玻尔兹曼方程的解

体系为无限长带电圆柱,电荷线密度为$\lambda$,无外加盐。泊松-玻尔兹曼方程形式为

\begin{equation*} y''+\frac{y'}{r}=\kappa^2 e^y \end{equation*}

边界条件为

\begin{equation*} \begin{split} y'(r_0)&=-2\frac{\xi}{r_0} \\ y'(R)&=0 \end{split} \end{equation*}

其中$\xi=\lambda l_B/e$。

方程的解为

\begin{equation*} y(r)=-2\ln\left [\frac{\kappa r}{\sqrt{2}\gamma}\cos\left (\gamma\ln\frac{r}{R_M} \right ) \right ] \end{equation*}

其中常数由边界条件确定,满足

\begin{equation*} \begin{split} \gamma\ln\frac{r_0}{R_M}&=\arctan \left (\frac{1-\xi}{\gamma} \right )\\ \gamma\ln\frac{R}{R_M}&=\arctan \left (\frac{1}{\gamma} \right ) \end{split} \end{equation*}

来源:Macromolecules 2000, 33, 199