耶鲁基础物理2.5位置矢量$\boldsymbol r$的导数



图2.5 质点沿着一曲线路径运动,$t$时刻位于$\boldsymbol r$处,$t+\Delta t$时刻位于$\boldsymbol r+\Delta \boldsymbol r$处。速度$\boldsymbol v=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t } = \frac{d \boldsymbol r}{d t }$,$\frac{\Delta \boldsymbol r}{\Delta t }$与$\Delta \boldsymbol r$平行,当$\Delta t \to 0$时,速度方向沿曲线切线方向。

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耶鲁基础物理2.4坐标轴的选择与基矢



有一个矢量,它的分量分别为3和5,你能表示出这个矢量吗?

你会马上给出答案:$3\boldsymbol i+5\boldsymbol j$。

你给出这个答案的时候,你已经隐含着一个假设,我会沿水平和竖直方向分别建立$x$、$y$轴,并定义沿坐标轴方向的单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$,用以表示矢量。这是挺自然的事情。可是,就不能建立一套新的坐标轴吗?

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耶鲁基础物理2.3单位矢量



回到平面直角坐标系$x-y$平面。我们将介绍两个特殊的矢量,单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$,分别指向$x$轴和$y$轴的正方向,长度为1,如图2.3所示。

如果还有$z$轴,它与纸面垂直,会相应地定义单位矢量$\boldsymbol k$。现在先不考虑。



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耶鲁基础物理2.2 二维矢量



接下来,我们在更高维空间研究运动。

现实世界中,万物都在三维空间运动。

我们先把二维空间讲明白。

我们研究问题,一个好方法是,先研究最简单的情况,搞懂之后,心里有底了,再逐渐增大难度。

一维和二维运动差异很大,而二维和更高维之间的差异却不大。

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耶鲁基础物理1.3运动的平均量和瞬时量



我们来研究这样的物体,从数学上看,它是一个点,没有大小。你把它转动一下,看起来还是一样的。不像土豆,把土豆转一下,看上去会不同。对于土豆,只描述它的位置是不够的,还要给出它的朝向。对于土豆这样的物体,我们后面研究“刚体”的时候再讨论。现在,我们只研究无需考虑空间体积的物体,即一个点,这个点可以在整个空间运动,物理上称为质点,即有质量的点。我们考虑最简单的情况,这个点只沿一条直线运动,设这条直线为$x$轴。

你可以想象一个珠子穿在一条线上,它只能前后移动。这应该就是最简单的运动了。

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耶鲁基础物理1.2运动学和动力学



现在正式开始上课。物理学第一部分内容是牛顿力学,这是物理学第一座宏伟的大厦,由牛顿一人之手创建,将我们送上理解自然现象的通途,直到18世纪,麦克斯韦发明出电磁学定律,写下了著名的麦克斯韦方程组。除电磁学以外,基础力学研究的是台球、卡车、弹珠等物体的运动,由牛顿创立。这就我们现在要关注的内容。全部内容用一黑板——甚至半黑板——就能写下。

这门课的目的是一遍又一遍地向你们展示,从这一两个定律出发,你们可以推导一切,我鼓励你们用同样的方式思考问题。

事实上,我鼓励你们像物理学家一样思考,即使你不打算成为一名物理学家,因为这是学这门课最简单的方法,即弄懂课程所有内容背后的推理。

我的目的不是硬塞给你一些假设,而是告诉你们所有的东西从何而来,如果你试着遵循这个逻辑,你会受益良多。这样,你就不用在脑子里储存太多的东西。

开始阶段只有四五个公式的时候,你可以记住所有的公式,做题的时候,挨个试,直到试出正确的公式,但几周后,你会有100个公式,你不可能都记住,你也不能挨个试了。所以你必须用逻辑线索把知识都串起来。遵循逻辑不仅仅是物理学家的工作方法,也是你学习知识的最简单的方法。

现在开始学习牛顿力学。牛顿力学有两部分内容。其实所有的物理学都可以分成这样的两部分内容。

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