理论物理极础8:哈密顿力学和时间平移不变性




酒吧的酒保边喝饮料边读报,这时莱尼和乔治进来了。“酒保,你在读什么呢?”
酒保抬头看了下莱尼,说:“报上引用爱因斯坦的话:‘天下最蠢的事莫过于一遍又一遍地重复作同一件事,而期待会有不同的结果。 ’你如何理解这句话?”
莱尼想了想,说:“就像我来这里,每次都点辛辣的食物,结果得了胃病?”
酒保笑了:“就是这意思。你都开始懂爱因斯坦了。”

时间平移对称性

你可能想知道能量守恒与对称性是不是有关系。确实有关系,但是又与我们在第7讲中讲的又不太一样。第7讲中所有对称性的例子都与坐标$q_i$平移有关。比如,平移对称性是将所有质点的笛卡尔坐标都同时平移相同的量,系统不发生任何变化。与能量守恒相关的对称性不是坐标平移,而是时间平移。

想象一个封闭系统的实验,不受任何外界影响。实验在$t_0$时刻开始,从一定初始条件开始演化,过一定时间后,看看得到的结果。然后晚些时候,重复实验,保持初始条件不变,持续时间不变,唯一不同的是起始时刻,推迟到$t_0+\Delta t$。你会猜想到实验结果应该会完全一样,时间平移量$\Delta t$不会带来任何变化。对于具有这样性质的系统,我们称其具有时间平移不变性

不是所有系统都具有时间平移不变性。比如,我们生活在一个一直在膨胀的宇宙里。宇宙的膨胀效应在通常的实验条件下通常是可以忽略的,但是如果实验足够精确的话,晚一会儿做的实验和前面做的实验,结果会有细微差别。

下面我们说一个更接近现实的例子。考虑一个在磁场中运动的带电粒子。如果磁场是恒磁场,粒子运动是时间平移不变的。但是如果产生磁场的电流慢慢增大,粒子如果在同样的初始条件但在不同的时刻开始运动,我们就会得到不同的结果。粒子的运动就不是时间平移不变的。

时间平移对称性的是否存在如何体现在拉格朗日力学里?答案很简单,看拉格朗日量是否显含时间,说得清楚一点,看拉格朗日量的值随时间而变是否仅仅是通过坐标和速度的变化。如果是,则拉格朗日量隐含时间,如果否,则拉格朗日量显含时间。显含时间意思是拉格朗日量的函数形式里直接就有时间。比如谐振子的拉格朗日量:

\begin{equation*} L=\frac{1}{2}\left (m\dot{x}^2+kx^2\right ) \end{equation*}

如果$m$和$k$不随时间改变,上述拉格朗日量就是时间平移不变的。

如果弹簧常数$k$因为某种原因随时间变化,比如在一个有变化磁场的环境里,变化的磁场对弹簧里的原子有作用,这种作用会改变弹簧常数。在这样的情况,拉格朗日量为

\begin{equation*}L=\frac{1}{2}\left [m\dot{x}^2+k(t)x^2\right ]\end{equation*}

这个拉格朗日量就是显含时间的。一般的拉格朗日量可写为

\begin{equation} L=L(q_i,\dot{q}_i,t) \label{eq1} \end{equation}

拉格朗日量的时间依赖性是源于体系的控制参数随时间的变化。

由此,我们可以给出时间平移对称性的数学判据:拉格朗日量不显含时间,则系统是时间平移不变的。

能量守恒

现在我们考虑拉格朗日量(方程\eqref{eq1})的值如何随着系统演化而变化。拉格朗日量$L$的时间依赖性有三个来源。第一和第二个来源是坐标$q$和速度$\dot{q}$的时间依赖性。如果时间时间依赖性的来源仅此而已,则有

\begin{equation*}\frac{dL}{dt}=\sum_i\left (\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i \right )\end{equation*}

如果拉格朗日量表达式里就显含时间,拉格朗日量对时间的微分就多出一项:

\begin{equation} \frac{dL}{dt}=\sum_i\left (\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i \right )+\frac{\partial L}{\partial t} \label{eq2} \end{equation}

我们逐一看看方程\eqref{eq2}中各项。由欧拉-拉格朗日方程,方程\eqref{eq2}求和号中第一项可写为:

\begin{equation*} \frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i=\dot{p}_i\dot{q}_i \end{equation*}

第二项变为

\begin{equation*}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i = p_i\ddot{q}_i\end{equation*}

以上各项再带入方程\eqref{eq2},得:

\begin{equation*} \frac{dL}{dt}=\sum_i \left (\dot{p}_i\dot{q}_i+p_i\ddot{q}_i \right ) + \frac{\partial L}{\partial t} \end{equation*}

上式中的求和项可以简化,得如下恒等式:

\begin{equation*} \sum_i \left (\dot{p}_i\dot{q}_i+p_i\ddot{q}_i \right ) = \frac{d}{dt}\sum_i p_i \dot{q}_i \end{equation*}

于是,得

\begin{equation} \frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}\sum_i p_i \dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial t} \label{eq3} \end{equation}

由上式可注意到,即使拉格朗日量$L$不显含时间,拉格朗日量也有时间依赖性,即通过第一项 $\frac{d}{dt}\sum_i p_i \dot{q}_i$ 随时间变化。也就是说,拉格朗日量不守恒。

观察方程\eqref{eq3},可以看到一些有意思的东西。我们定义一个新的量$H$:

\begin{equation} \sum_i p_i \dot{q}_i-L=H \label{eq4} \end{equation}

则方程\eqref{eq3}可变为如下简单的形式:

\begin{equation} \frac{d H}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t} \label{eq5} \end{equation}

得到方程\eqref{eq5}的步骤有点复杂,但是这个结果很简单。只有当拉格朗日量显含时间的时候,$H$才随时间变化。更有趣的事情,如果系统是时间平移不变的,则量$H$守恒。

量$H$叫做哈密顿量,你可能已经猜到,它很重要,因为它是系统的能量,当然还有其他的原因。更重要的是,哈密顿量是力学一个新的形式理论——哈密顿力学的核心。眼下,我们还是从一个简单的例子,理解一下哈密顿量的意义。考虑势场中运动的一个质点,其拉格朗日量为:

\begin{equation} L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x) \label{eq6} \end{equation}

正则动量就是通常的动量:

\begin{equation} p=m\dot{x} \label{eq7} \end{equation}

将方程\eqref{eq6}和\eqref{eq7}带入方程\eqref{eq4},得哈密顿量:

\begin{equation*} \begin{split} H& = (m\dot{x})\dot{x}-\frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)\\ & = m\dot{x}^2-\frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)\\ & = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x) \end{split} \end{equation*}

可见,$H$正是能量,动能加上势能。

对于一般情况,拉格朗日量是动能减去势能,哈密顿量为:

\begin{equation*} \begin{split} H& = p\dot{q}-T+V\\ & = T+V \end{split} \end{equation*}

有些系统的拉格朗日量会比较复杂,不能很明显的写为$T-V$。对于这样的情况,可能无法清楚地分出动能和势能。但不管怎样,构建哈密顿量的规则不变。系统的能量的一般定义是:
能量等于哈密顿量。 并且,如果拉格朗日量不显含时间,能量$H$守恒。

如果拉格朗日量显含时间,根据方程\eqref{eq5},哈密顿量不守恒。能量不守恒,会怎么样呢?我们通过一个例子来说明一下。一个带电粒子,带有单位电量的电荷,在一个平板电容器之间运动,其实就是在一个匀强电场 $\epsilon$ 中运动。(这里我们用 $\epsilon$ 表示电场,而不是用通常的符号$E$,是为了避免与能量的符号混淆。)现在你不需要管电场是什么,你只需要知道的是,电容器产生一个势能 $\epsilon x$。拉格朗日量为:

\begin{equation*}L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\epsilon x\end{equation*}

只要电场是恒定的,能量就是守恒的。但是,如果电容器正在充电,那么 $\epsilon$ 就是逐渐增大的,此时拉格朗日量就是显含时间的:

\begin{equation*}L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\epsilon(t) x \end{equation*}

这种情况下,带电粒子的能量就不守恒了,能量的变化率为:

\begin{equation*}\frac{dH}{dt}=\frac{d\epsilon}{dt}x \end{equation*}

增加的能量来自哪里呢?答案是来自给电容器充电的电池。这里不讲细节,只讲重点,如果系统只包括电容器中间的那个带电粒子,系统的能量不守恒,因为这只是包括电容器和电池在内的一个更大的系统的一部分,电容器和电池也是有能量的。

我们考虑下这整个实验,包括电池、电容器和带电粒子。最开始,电容器不带电,粒子静止在电容器极板间某处。某个时刻,接通电路,电流流向电容器,带电粒子感受到一个随时间变化的电场。实验最后的结果,电容器带上电荷,带电粒子运动起来。

再过一个小时后我们再做整个实验会怎么样呢?当然完全一样。换言之,整个系统是时间平移不变的,所以把电池、电容器和带电粒子看做一个系统,能量是守恒的。

但是,在很多问题里,把系统分成各个部分来研究会非常方便。在这样的情况下,如果系统里除你的研究对象之外的部分随时间变化,那么你的研究对象的能量就不守恒。

相空间和哈密顿方程

哈密顿量不仅仅是能量,还具有更深层的意义:哈密顿量是经典力学的全新的理论形式的基础,在量子力学里,它会更重要。

在拉格朗日力学里,我们关注的是系统的构型空间轨迹,轨迹用坐标$q(t)$描述。运动方程是二阶微分方程,所以只知道初始坐标是不够的,还需要知道初始速度。

哈密顿力学关注的是相空间。在哈密顿力学里,坐标$q_i$和速度$p_i$地位完全一样,$q_i$和速度$p_i$构成的空间即是相空间。系统的运动由相空间中的轨迹描述,数学上讲,由函数集合$q_i(t)$和$p_i(t)$来描述。所以,相空间的维数是构型空间维数的2倍。

维数增加一倍有什么好处?答案是,运动方程变成一阶微分方程,通俗点说,只要知道相空间中的初始点,就可以确定系统的未来。

构建哈密顿力学的第一步是消除所有的$\dot{q}$,代之以$p$。对于通常的笛卡尔坐标系里的质点,动量和速度说的基本是一件事情,只差了个因子质量。我们以沿直线运动的质点为例来说明如何构建哈密顿力学。我们有这样两个方程:

\begin{equation} \begin{split} & p = m\dot{x}\\ & H = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x) \end{split} \label{eq8} \end{equation}

速度用$p/m$替换,哈密顿量就变成$p$和$x$的函数:

\begin{equation*}H=\frac{p^2}{2m}+V(x)\end{equation*}

$H$对$x$的偏导数为$\frac{dV}{dx}$,正是负的力,因此运动方程($F=ma$)为如下形式

\begin{equation}
\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}
\label{eq9}
\end{equation}

前面已经提到,在哈密顿力学里,坐标和动量地位完全一样,由此,你可能会猜到还有一个与方程\eqref{eq9}类似的方程,只是把$p$和$x$换一下位置。几乎如此,只是差那么一点点。正确的方程是:

\begin{equation}
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}
\label{eq10}
\end{equation}

你可以由方程\eqref{eq8}验证一下。

现在我们就得到了运动方程,简洁对称,只是不是一个方程,而是两个一阶微分方程

\begin{equation} \begin{split} & \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}\\ & \dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p} \end{split} \label{eq11} \end{equation}

以上就是直线运动的质点的哈密顿方程。我们现在推导一般系统的哈密顿方程。先从哈密顿量开始:

\begin{equation*}H=H(q_i,p_i)\end{equation*}

类比方程\eqref{eq11},有

\begin{equation} \begin{split} & \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\\ & \dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i} \end{split} \label{eq12} \end{equation}

在相空间的每一个维度上,都对应一个一阶微分方程。

我们说一下该方程组与第1讲的关系。本书第一章描述了决定论性定律如何确定未来。方程\eqref{eq12}就可以确定系统的未来:如果你知道系统的哈密顿量,以及任意时刻的所有坐标和动量,哈密顿方程就能告诉你下个瞬时的所有坐标和动量。如此进行下去,你就能确定相空间的轨迹。

谐振子的哈密顿力学

谐振子是物理里面最重要的简单系统。某自由度偏离平衡位置之后,然后在平衡位置附近振动,各种各样的体系都有这样的振动,所有这样的振动都可以用谐振子描述。我们考虑一个自由度$q$,势能$V(q)$有一个极小值点,不失一般性,我们假设极小值点在$q=0$处。极小值点附近的势能可用二次函数来近似:

\begin{equation}
V(q)=V(0)+cq^2
\label{eq13}
\end{equation}

其中$V(0)$和$c$都为常数。没有$q$的一次项,是因为导数$\frac{dV}{dq}$在极小值点必须等于0。我们也可以略去$V(0)$这一项,因为势能加上一个常数项对系统没有任何影响。

方程\eqref{eq13}并不具有一般性,$V$可以含有$q$的高阶项,如$q^3$、$q^4$等。只要系统偏移$q=0$处的程度非常小,这些高阶项都可以忽略。这可适用于各种系统:弦、摆、声波、电磁波,等等。

谐振子的拉格朗日量可写成如下特殊形式:

\begin{equation}
L=\frac{1}{2\omega}\dot{q}^2+\frac{\omega}{2}q^2
\label{eq14}
\end{equation}

这个拉格朗日量只含一个常数 $\omega$ 。

练习1:从拉格朗日量$\frac{m\dot{x}^2}{2}-\frac{kx^2}{2}$出发,证明做变量替换$q=(km)^{1/4}x$,可得如方程\eqref{eq14}形式的拉格朗日量。写出$k$、$m$和$\omega$之间的关系。

练习2:方程\eqref{eq14}所对应的哈密顿量。

方程\eqref{eq14}所对应的哈密顿量具有非常简单的形式:

\begin{equation}
H=\frac{\omega}{2}(p^2+q^2)
\label{eq15}
\end{equation}

要得到这么简单的哈密顿量,我们需要把$x$变成$q$,这就是练习1所做的事情。

哈密顿力学的一大特征是$q$和$p$是对称的,而二者在谐振子的哈密顿量里几乎完全对称,仅有的不对称来自方程\eqref{eq12}中的负号。将方程\eqref{eq15}带入方程\eqref{eq12},得

\begin{equation} \begin{split} & \dot{p}=-\omega q \\ & \dot{q}=\omega p \end{split} \label{eq16} \end{equation}

我们把哈密顿力学得到的这两个方程与拉格朗日力学得到的欧拉-拉格朗日方程做下比较。由方程\eqref{eq14}可得欧拉-拉格朗日方程:

\begin{equation}
\ddot{q}=-\omega^2q
\label{eq17}
\end{equation}

首先,欧拉-拉格朗日方程只有一个,而哈密顿方程有两个。第二,欧拉-拉格朗日方程是二阶的,而哈密顿方程是一阶的。两个一阶的哈密顿方程与一个二阶欧拉-拉格朗日方程是等价的。方程\eqref{eq16}中的的第二个方程对时间在求一次导数,得:
\begin{equation*}\ddot{q}= \omega \dot{p}\end{equation*}
再由方程\eqref{eq16}中的第一个方程,把上式中的 $\dot{p}$ 换成$-\omega q$,我们就得到方程\eqref{eq17},欧拉-拉格朗日方程。

两种理论形式,哪个更好?看你的感觉了。但是先别忙着下结论,等学完相对论和量子力学,拉格朗日量和哈密顿量的意义才会变得完全清晰。

我们再回到方程\eqref{eq16}。我们习惯于在构型空间思考问题。谐振子系统沿着某个轴往复运动。谐振子系统是我们慢慢习惯相空间思考问题的一个很好的起点。谐振子的相空间是二维的。容易看出,谐振子的相空间轨迹是以原点为圆心的同心圆。道理很简单,回到哈密顿量表达式,方程\eqref{eq15},哈密顿量,也就是能量,是守恒的,$q^2+p^2$是与时间无关的常数。即到相空间原点的距离是不变的,相点沿着半径固定的圆移动,并且角速度恒定为$\omega$。更有意思的是,所有轨道对应的角速度都相等,与谐振子的能量无关。把相点的圆周运动投影到横坐标$q$轴上,如图1所示,不出所料,相点沿$q$轴做往复运动,这正是振动的特点。但是,相空间二维的圆周运动才是振动的全面描述。把轨迹投影到纵坐标$p$轴,可以看出,动量也在振动。



图1. 谐振子的相空间轨迹

一般情况下,系统的相空间轨迹会比谐振子的相空间轨迹更复杂,对称程度也更低。但是相空间的点位于等能线上这一结论是普适的。我们后面会讨论相空间轨迹更一般的性质。

导出哈密顿方程

下面我们给出哈密顿方程的一般性推导。拉格朗日量是坐标和速度的函数:

\begin{equation*} L=L(\{q\},\{\dot{q}\}) \end{equation*}

哈密顿量为

\begin{equation*} H=\sum_i(p_i\dot{q}_i)-L \end{equation*}

哈密顿量变分:

\begin{equation*} \begin{split} \delta H & = \sum_i(p_i\delta \dot{q}_i+\dot{q}_i\delta p_i ) - \delta L\\ &=\sum_i\left (p_i\delta \dot{q}_i+\dot{q}_i\delta p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i -\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i \right ) \end{split} \end{equation*}

因为$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$,上式中第一项和最后一项正好抵消,于是上式变为:

\begin{equation*} \delta H=\sum_i\left (\dot{q}_i\delta p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i \right ) \end{equation*}

根据变分规则,

\begin{equation*} \delta H\left (\{q\},\{p\}\right )=\sum_i\left ( \frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i+ \frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i \right ) \end{equation*}

上面两式对比,可得:

\begin{equation} \begin{split} & \frac{\partial H}{\partial p_i}= \dot{q}_i\\ & \frac{\partial H}{\partial q_i}= -\frac{\partial L}{\partial q_i} \end{split} \label{eq18} \end{equation}

还差最后一步,欧拉-拉格朗日方程写成如下形式:

\begin{equation*}\frac{\partial L}{\partial q_i }=\dot{p}_i\end{equation*}

带入方程\eqref{eq18},就得到一般形式的哈密顿方程:

\begin{equation} \begin{split} & \frac{\partial H}{\partial p_i}= \dot{q}_i\\ & \frac{\partial H}{\partial q_i}= -\dot{p}_i \end{split} \label{eq19} \end{equation}

标签: 能量守恒, 拉格朗日量, 哈密顿力学, 哈密顿量, 拉格朗日力学, 时间平移不变性

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