DNA解链统计物理

http://www.crystalinks.com/zippereffectdna.jpg
把双链DNA解开就像拉拉链。

来源:Kerson Huang, Lectures on Statistical Physics and Protein Folding, pp 24-25

设DNA有$N$个链环(link),每个链环有两种状态:闭合着或打开着,后一种状态比前一种状态的能量高$\Delta$。打开的链环连续地排在一起,闭合的链环连续地排在一起,如下图所示。由于热涨落,链环会自发闭合或打开。问:打开的链环平均有多少?


DNA的拉链模型

DNA的可能状态用打开的链环数目标记,$n=0,1,2,\cdots,N$。具有$n$个打开的链环的DNA的能量为$E_n=n\Delta$。配分函数为

\begin{equation*} Q_N=\sum_{n=0}^N e^{-\beta n\Delta}=\frac{1-e^{-\beta (N+1)\Delta}}{1-e^{-\beta \Delta}} \end{equation*}

上式用到等比数列求和公式$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

打开的链环的平均数为:

\begin{equation*} \begin{split} \overline n=&\frac{\sum_{n=0}^N ne^{-\beta n\Delta}}{\sum_{n=0}^N e^{-\beta n\Delta}}=-\frac{1}{\Delta}\frac{\partial \ln Q_N}{\partial \beta}\\ =&\frac{e^{-\beta \Delta}}{1-e^{-\beta \Delta}}-\frac{(N+1)e^{-\beta (N+1)\Delta}}{1-e^{-\beta (N+1) \Delta}} \end{split} \end{equation*}

低温极限下,$\beta \Delta\gg 1$,打开的链环很少:

\begin{equation*} \overline n\approx e^{-\beta \Delta} \end{equation*}

高温极限下,$\beta \Delta\ll 1$,几乎所有的链环都是打开的:

\begin{equation*} \overline n\approx n \end{equation*}

标签: 配分函数, 黄克孙, dna, 等比数列

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