耶鲁基础物理 7.4 万有引力势能

与万有引力对应的势能形式是什么样的？

在地球表面附近，万有引力为

$$ \vec{F}_g=-mg\hat{j} \label{7.24}\tag{7.24} $$

它是保守力, 怎么看出来呢？

因为它满足$\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x}=0$。

相应的势能的形式是什么？

是如下形式：

$$ U=mgy \label{7.25}\tag{7.25} $$

上式中, $y$是自地面竖直向上的坐标，且选择地面处 $U=0$。

现在，考虑远离地面的情形。

万有引力的形式为：

$$ \begin{split} \vec{F}_g=&-\frac{GMm}{r^2}\hat{e}_r \ =&-\vec{r}\frac{GMm}{r^3} \ =&-(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})\frac{GMm}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \end{split} \label{7.26}\tag{7.26} $$

式中, $\hat{e}_r=\vec{r}/r$，是沿径向的单位向量。

这个力是不是保守力？怎么判断？

看这个力是不是满足关系$\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x}$，$\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial x}$，$\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial y}$。

容易判断出，力\eqref{7.26}满足上述关系，这个力是保守力。

这个力对应的势能是什么样的？

是如下形式：

$$ U(r)=-\frac{GMm}{r} \label{7.27}\tag{7.27} $$

要是力\eqref{7.26}与势能\eqref{7.27}对应，应有如下关系：$F_x=-\frac{\partial U}{\partial x}$，$F_y=-\frac{\partial U}{\partial y}$，$F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}$。

上述关系成立吗？

先看$x$分量，应有$F_x=-\frac{\partial U}{\partial x}$，即：

$$ -x\frac{GMm}{r^3}=-\frac{\partial U}{\partial x} \label{7.28}\tag{7.28} $$

下面具体算一下：

$$ \begin{align} -\frac{\partial U}{\partial x}=& GMm\frac{\partial (1/r)}{\partial x}\label{7.29}\tag{7.29}\\ =& -GMm\frac{1}{r^2}\frac{\partial r}{\partial x} \label{7.30}\tag{7.30}\\ =& -\frac{GMm}{r^2}\frac{\partial \sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\partial x} \label{7.31}\tag{7.31}\\ =& -\frac{GMm}{r^2}\cdot \frac{1}{2}\frac{1}{ \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot 2x \label{7.32}\tag{7.32} \\ =& -x\frac{GMm}{r^3}=F_x \label{7.33}\tag{7.33} \end{align} $$

于是，我们证明了$F_x=-\frac{\partial U}{\partial x}$。把$x$换成$y$或$z$，同样成立。因此，有

$$ \vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}=-\left [\frac{\partial U}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial U}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial U}{\partial z}\mathrm dz \right ]=-\mathrm dU \label{7.34}\tag{7.34} $$

$$ \int_1^2\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}=-\int_1^2\mathrm dU=U(1)-U(2) \label{7.35}\tag{7.35} $$

即$\vec{F}$的线积分与路径无关，\eqref{7.27}就是力\eqref{7.26}对应的势能。

注意，在地面附近的物体应用万有引力定律，可以将$g$用$G$、地球质量$M_{\mathrm e}$和半径$R_{\mathrm e}$表示出来：

$$ F=\frac{GM_{\mathrm e}m}{R_{\mathrm e}^2}=mg \label{7.36}\tag{7.36} $$

于是，

$$ g=\frac{GM_{\mathrm e}}{R_{\mathrm e}^2} \label{7.37}\tag{7.37} $$

如果考虑天体尺度上的运动，我们必须使用\eqref{7.27}式，它对于所有距离都适用，且对应的机械能守恒定律为：

$$ E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} \label{7.38}\tag{7.38} $$