带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动?

球或圆柱体等截面为圆形的物体沿斜面的运动,很多标准的教科书都有详尽的论述。球或圆柱体沿斜面运动,摩擦力是根本影响因素。但是,带有棱角的物体沿斜面的运动,却甚少有讨论。

我们现在讨论带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动。



质心位于A点左边,$\beta \gt 0$。质心位于A点右边,$\beta \lt 0$。

动力学方程:

\begin{equation} \begin{split} & N-mg\cos\theta = m \alpha R \sin \beta\\ & mg\sin\theta - f = ma+m \alpha R \cos \beta \\ & fR \cos \beta-N R \sin \beta = I_c\alpha = m\eta R^2 \alpha \end{split} \label{1Dynamics} \end{equation}

摩擦力有三种情况:静摩擦力,方向沿斜面向上的动摩擦力,方向沿斜面向下的动摩擦力。

摩擦力为静摩擦力

此时$a=0$,动力学方程\eqref{1Dynamics}变为:

\begin{equation} \begin{split} & N-mg\cos\theta = m \alpha R \sin \beta\\ & mg\sin\theta - f = m \alpha R \cos \beta \\ & fR \cos \beta-N R \sin \beta = m\eta R^2 \alpha \end{split} \label{1fs} \end{equation}

解之得:

\begin{equation} \begin{split} & N=\frac{mg\cos \theta }{\eta +1}\left(\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta \right )\\ & f = \frac{mg\sin \theta }{\eta +1}\left(\eta+\sin^2 \beta+\sin \beta \cos \beta \cot \theta \right ) \\ & \alpha = \frac{g \sin (\theta -\beta)}{(\eta +1) R} \end{split} \label{1solfs} \end{equation}

$\beta \ge 0$

$N\ge 0$自然成立。

由$f\le \mu_{\mathrm s}N$得:

\begin{equation} \begin{split} & \frac{mg\sin \theta }{\eta +1}\left(\eta+\sin^2 \beta+\sin \beta \cos \beta \cot \theta \right ) \le \\ & \mu_{\mathrm s} \frac{mg\cos \theta }{\eta +1}\left(\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta \right )\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \tan\theta \frac{\eta+\sin^2 \beta+\sin \beta \cos \beta \cot \theta}{\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta}\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \frac{(\eta+\sin^2 \beta)\tan\theta +\sin \beta \cos \beta}{\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta} \end{split} \label{fsbetagfs} \end{equation}

由\eqref{1solfs}式,在满足\eqref{fsbetagfs}的前提下,当$\theta = \beta$时,$\alpha = 0$,物块将静止于斜面上,当$\theta \gt \beta$时,$\alpha \gt 0$,物块将沿斜面下滚,当$\theta \lt \beta$时,$\alpha \lt 0$,物块将沿斜面上滚。

$\beta \lt 0$

由$N\ge 0$得:

\begin{equation} \begin{split} & \eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta \ge 0 \\ & \frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}+\cot\beta + \tan \theta \le 0 \\ & \tan \theta \le -\frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}-\cot\beta = \tan \theta' \end{split} \label{fsbetalN} \end{equation}

由$|f|\le \mu_{\mathrm s}N$得:

\begin{equation} \begin{split} & \frac{mg\sin \theta }{\eta +1}\left . \right |\eta+\sin^2 \beta+\sin \beta \cos \beta \cot \theta \left . \right | \le \\ & \mu_{\mathrm s} \frac{mg\cos \theta }{\eta +1}\left(\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta \right )\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \tan\theta \frac{\left . \right |\eta+\sin^2 \beta+\sin \beta \cos \beta \cot \theta\left . \right |}{\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta}\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \frac{\left . \right |(\eta+\sin^2 \beta)\tan\theta +\sin \beta \cos \beta\left . \right |}{\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta}\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \begin{cases} \frac{(\eta+\sin^2 \beta)\tan\theta +\sin \beta \cos \beta}{\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta},& f\ge 0 \\ -\frac{(\eta+\sin^2 \beta)\tan\theta +\sin \beta \cos \beta}{\eta+\cos^2 \beta+\sin\beta \cos \beta \tan \theta},& f\lt 0 \end{cases} \\ & \mu_{\mathrm s} \ge \begin{cases} \frac{\left(\frac{\eta}{\sin\beta \cos \beta}+\tan \beta\right)\tan\theta +1}{\frac{\eta}{\sin\beta \cos \beta}+\cot \beta+ \tan \theta},& f\ge 0 \\ -\frac{\left(\frac{\eta}{\sin\beta \cos \beta}+\tan \beta\right)\tan\theta +1}{\frac{\eta}{\sin\beta \cos \beta}+\cot \beta+ \tan \theta},& f\lt 0 \end{cases}\\ & \mu_{\mathrm s} \ge \begin{cases} \left(\frac{\eta}{\sin\beta \cos \beta}+\tan \beta\right)\frac{\tan\theta -\tan\theta^*}{\tan \theta-\tan \theta'},& f\ge 0 \\ -\left(\frac{\eta}{\sin\beta \cos \beta}+\tan \beta\right)\frac{\tan\theta -\tan \theta^*}{\tan \theta-\tan \theta'},& f\lt 0 \end{cases} \end{split} \label{fsbetalfs} \end{equation}

要$f\ge 0$,需$\eta+\sin^2 \beta+\sin \beta \cos \beta \cot \theta\ge 0$,即$\tan \theta \ge \tan \theta^{*}$,又\eqref{fsbetalN}式,知此时$\tan \theta^{*} \le \tan \theta \le \tan \theta'$

要$f\lt 0$,需$\eta+\sin^2 \beta+\sin \beta \cos \beta \cot \theta\lt 0$,即$\tan \theta\lt \tan \theta^*$

由\eqref{1solfs}式知,$\alpha \gt 0$,物块只会下滚,不会上滚。

摩擦力为方向沿斜面向上的动摩擦力

物块向下滑动,$f=\mu_{\mathrm k}N$,动力学方程\eqref{1Dynamics}变为:

\begin{equation} \begin{split} & N-mg\cos\theta = m \alpha R \sin \beta\\ & mg\sin\theta - \mu_{\mathrm k}N = ma+m \alpha R \cos \beta \\ & \mu_{\mathrm k}NR \cos \beta-N R \sin \beta = m\eta R^2 \alpha \end{split} \label{1fk+} \end{equation}

解之得:

\begin{equation} \begin{split} & N = \frac{m g \eta \cos \theta }{\eta -\mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta +\sin ^2\beta }\\ &a =g \sin\theta + g \cos\theta \frac{\sin \beta \cos \beta - \mu_{\mathrm k} (\eta+\cos^2\beta) }{\eta +\sin^2 \beta - \mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta} \\ & \alpha = \frac{g \cos \theta }{R\sin \beta}\frac{ \mu_{\mathrm k} - \tan \beta}{ \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \tan \beta -\mu_{\mathrm k} } \end{split} \label{1solfk+} \end{equation}

$\beta \gt 0$

由$N\ge 0$,得:

\begin{equation} \begin{split} & \eta -\mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta +\sin ^2\beta \gt 0 \\ & \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \tan \beta -\mu_{\mathrm k} \gt 0 \\ & \mu_{\mathrm k} \lt \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \tan \beta = \mu^* \end{split} \label{fkbetagN} \end{equation}

由$a\ge 0$得:

\begin{equation} \begin{split} & g \sin\theta + g \cos\theta \frac{\sin \beta \cos \beta - \mu_{\mathrm k} (\eta+\cos^2\beta) }{\eta +\sin^2 \beta - \mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta} \ge 0\\ & \tan\theta + \frac{\sin \beta \cos \beta - \mu_{\mathrm k} (\eta+\cos^2\beta) }{\eta +\sin^2 \beta - \mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta}\ge 0\\ & \mu_{\mathrm k}\le \frac{(\eta+\sin^2\beta)\tan\theta+\sin \beta\cos \beta}{\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta} \end{split} \label{fkbetaga} \end{equation}

函数$f(\tan\theta)=\frac{(\eta+\sin^2\beta)\tan\theta+\sin \beta\cos \beta}{\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta}$是$\tan\theta$的增函数,可以证明:$f(0)=\mu'= \left ( \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \cot \beta\right)^{-1}$,$f(\tan\beta)= \tan\beta $,$ f(\tan \pi/2)= \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \tan \beta = \mu^*$。

$\alpha$ 有两种情形。

第一种情况,$\alpha \ge 0$,物块下滚,有:

\begin{equation} \begin{split} & \frac{g \cos \theta }{R\sin \beta}\frac{ \mu_{\mathrm k} - \tan \beta}{ \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \tan \beta -\mu_{\mathrm k} } \ge 0 \\ & \tan \beta \le \mu_{\mathrm k}\le \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \tan \beta \end{split} \label{fkbetagalphag} \end{equation}

上式中用到\eqref{fkbetagN}式。

结合\eqref{fkbetaga}式,物块下滑下滚的条件为:

\begin{equation} \tan \beta \le \mu_{\mathrm k}\le \frac{(\eta+\sin^2\beta)\tan\theta+\sin \beta\cos \beta}{\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta} \label{rolldownslidown} \end{equation}

第二种情况,$\alpha \lt 0$,物块上滚,有:

\begin{equation} \begin{split} & \frac{g \cos \theta }{R\sin \beta}\frac{ \mu_{\mathrm k} - \tan \beta}{ \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \tan \beta -\mu_{\mathrm k} } \lt 0 \\ & \mu_{\mathrm k}\lt \tan \beta \end{split} \label{fkbetagalphal} \end{equation}

结合\eqref{fkbetaga}式,物体上滚的条件为:

\begin{equation} \mu'= \left ( \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \cot \beta\right)^{-1}\le \mu_{\mathrm k}\lt \frac{(\eta+\sin^2\beta)\tan\theta+\sin \beta\cos \beta}{\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta} \label{rollupslidown} \end{equation}

$\beta \lt 0$

由\eqref{1solfk+}式,$N\ge 0$自动满足,$\alpha \ge 0$一定成立。

再看$a\gt 0$,由\eqref{1solfk+}式,有:

\begin{equation} \begin{split} & g \sin\theta + g \cos\theta \frac{\sin \beta \cos \beta - \mu_{\mathrm k} (\eta+\cos^2\beta) }{\eta +\sin^2 \beta - \mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta} \ge 0\\ & \tan\theta + \frac{\sin \beta \cos \beta - \mu_{\mathrm k} (\eta+\cos^2\beta) }{\eta +\sin^2 \beta - \mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta}\ge 0\\ & (\eta+\sin^2\beta)\tan\theta+\sin \beta\cos \beta-(\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta)\mu_{\mathrm k} \ge 0 \end{split} \label{fkbetala} \end{equation}

如果$\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta \le 0$,即$\tan\theta\ge - \frac{\eta}{\sin\beta\cos\beta} - \cot \beta = \tan \theta'$,$a\ge 0$ 成立。

如果$\tan\theta \lt \tan\theta'$,$a\ge 0$ 要求 $\mu_{\mathrm k}\le \frac{(\eta+\sin^2\beta)\tan\theta+\sin \beta\cos \beta}{\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta} $ 。

综上,物块下滑下滚,并要求$\tan\theta\ge - \frac{\eta}{\sin\beta\cos\beta} - \cot \beta = \tan \theta'$或$\tan\theta \lt \tan\theta'$ 且 $\mu_{\mathrm k}\le \frac{(\eta+\sin^2\beta)\tan\theta+\sin \beta\cos \beta}{\eta+\cos^2\beta+\sin \beta\cos \beta\tan\theta} $

摩擦力为方向沿斜面向下的动摩擦力

物块向上滑动,$a\lt 0$,$f=-\mu_{\mathrm k}N$,动力学方程\eqref{1Dynamics}变为:

\begin{equation} \begin{split} & N-mg\cos\theta = m \alpha R \sin \beta\\ & mg\sin\theta + \mu_{\mathrm k}N = ma+m \alpha R \cos \beta \\ & -\mu_{\mathrm k}NR \cos \beta-N R \sin \beta = m\eta R^2 \alpha \end{split} \label{1fk-} \end{equation}

$\beta \gt 0$

方程\eqref{1fk-}不成立,即此时物块不可能上滑。

$\beta \lt 0$

解\eqref{1fk-}得:

\begin{equation} \begin{split} & N = \frac{m g \eta \cos \theta }{\eta +\mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta +\sin ^2\beta }\\ &a =g \sin\theta + g \cos\theta \frac{\sin \beta \cos \beta + \mu_{\mathrm k} (\eta+\cos^2\beta) }{\eta +\sin^2 \beta + \mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta} \\ & \alpha = \frac{g \cos \theta }{R\sin \beta}\frac{ -\mu_{\mathrm k} - \tan \beta}{ \frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} + \tan \beta + \mu_{\mathrm k} } \end{split} \label{1solfk-} \end{equation}

由$N\ge 0$,得:

\begin{equation} \mu_{\mathrm k} \le -\frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}-\tan\beta=-\mu^* \label{Ngt0} \end{equation}

由$a\lt 0$,得:

\begin{equation} \begin{split} & \frac{\tan \theta (\eta +\mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta +\sin ^2\beta) +\sin \beta \cos \beta + \mu_{\mathrm k} (\eta+\cos^2\beta) }{\eta +\mu_{\mathrm k} \sin \beta \cos \beta +\sin ^2\beta }\lt 0 \\ & \frac{\left( \frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}+\tan\beta +\mu_{\mathrm k}\right )\tan\theta +1 +\mu_{\mathrm k}\left( \frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}+\cot\beta \right )}{\frac{\eta}{\sin \beta\cos \beta} +\mu_{\mathrm k} + \tan \beta} \gt 0 \\ & \left( \frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}+\tan\beta +\mu_{\mathrm k}\right )\tan\theta +1 +\mu_{\mathrm k}\left( \frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}+\cot\beta \right ) \gt 0 \\ &\mu_{\mathrm k}(\tan\theta'-\tan\theta)\lt 1-\cot\theta^* \tan \theta \end{split} \label{alt0} \end{equation}

这里$\tan\theta'=-\frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}-\cot\beta$,$\tan\theta^{*}=-\frac{1}{\frac{\eta}{\sin\beta \cos\beta}+\tan\beta }$,易知$\theta^{*} \lt \theta'$,于是$\theta\lt \theta^{*} \lt \theta'$或$\theta^{*} \lt \theta' \lt \theta$,第二个不等式与\eqref{Ngt0}式矛盾,舍去,得体系要满足如下条件:

\begin{equation} \begin{split} & \tan\theta \lt \tan\theta^* \\ & \mu_{\mathrm k} \lt\frac{\tan \theta^* - \tan \theta}{\tan\theta'-\tan\theta}\cot\theta^* \end{split} \label{alt0cond} \end{equation}

易看出$\alpha \ge 0$。物块做下滚上滑运动。

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  1. 质心转动线加速度

  2. 柒

    请问mαR表示什么?

    1. 质心转动的角速度

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