耶鲁基础物理6.2二元函数与偏导数



我们将在二维空间推导动能定理和能量守恒定律。我希望得到这样的关系:$K_1+U_1=K_2+U_2$,式中$U=U(x,y)$。

如何画二元函数$f(x,y)$的图像?

在$x-y$平面上一点$(x,y)$处沿与$x-y$平面垂直的方向上量度$f(x,y)$的距离,描出一个点,遍历$x-y$平面上所有点做此操作,描出的所有点构成一个曲面,这个曲面就是二元函数$f(x,y)$的图像。

自变量$x$和$y$变动一点,$f(x,y)$的函数值如何变化?

自变量有无限多种变动方式,可以沿$x$轴变动,也可以沿$y$轴变动,也可以沿两坐标轴之间的某个角度变动。

我们先看看自变量沿坐标轴变动,函数值的变化。

从点$(x,y)$变动到另一点$(x+\Delta x,y)$,函数值增量为$\Delta f=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$,$\Delta f$除以$\Delta x$,令$\Delta x \to 0$,得函数对$x$的偏导数

$$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=\frac{\partial f}{\partial x} \label{6.10}\tag{6.10} $$

自变量沿$x$轴变动,$y$并不发生变化,可以加脚标$y$明确地表达这个含义:

$$ \frac{\partial f}{\partial x}\left . \right |_y=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} \label{6.11}\tag{6.11} $$

类似地,函数对$y$的偏导数:

$$ \frac{\partial f}{\partial y}\left . \right |_x=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} \label{6.12}\tag{6.12} $$

我们以函数$f(x,y)=x^3y^2$为例进行一下练习。

求$\partial f/\partial x$,我们看看$y$保持不变的条件下,$f$如何随$x$变化,也就是说$f$对$x$求导,$y$当做常数,因此得

$$ \frac{\partial f}{\partial x}\left . \right |_y=3x^2y^2 \label{6.13}\tag{6.13} $$

类似地,函数对$y$的偏导数:

$$ \frac{\partial f}{\partial y}\left . \right |_x=2x^3y \label{6.14}\tag{6.14} $$

对导数再求导,得二阶导数。二元函数有四种二阶导数。我们计算一下函数$f(x,y)=x^3y^2$的四种二阶导数:

$$ \frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right ) \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6xy^2 \label{6.15}\tag{6.15} $$

$$ \frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right ) \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2x^3 \label{6.16}\tag{6.16} $$

$$ \frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right ) \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=6x^2y \label{6.17}\tag{6.17} $$

$$ \frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right ) \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=6x^2y \label{6.18}\tag{6.18} $$

注意:混合导数,也即交叉导数,与求导顺序无关,即

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \label{6.19}\tag{6.19} $$

下面我们说明一下这个结论为何是对的。

若在平面内发生一个小位移,函数增量近似为:

$$ \Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y \label{6.20}\tag{6.20} $$

在$\Delta x \to 0$,$\Delta y \to 0$,且$\Delta f \to 0$的极限条件下,\eqref{6.20}式变为:

$$ \mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm d x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm d y \label{6.21}\tag{6.21} $$



图6.2 从某个点$(x,y)$变动到另一点$(x+\mathrm d x,y+\mathrm dy)$,有两种变动路径,其对应的函数$f$的增量是相同的,进而可得到$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$。

现在问下面一个问题。如图6.2所示,从某个点$(x,y)$变动到另一点$(x+\mathrm d x,y+\mathrm dy)$,函数的增量是多少?

我们可以将这个变动分为两段来实现,从点$(x,y)$变动到点$(x+\mathrm d x,y)$,再变动到$(x+\mathrm d x,y+\mathrm dy)$,两部分变动函数的增量分别为$\mathrm df_1$和$\mathrm df_2$:

$$ \mathrm df_1 = \frac{\partial f}{\partial x}\left . \right |_{(x,y)}\mathrm d x \label{6.22}\tag{6.22} $$

$$ \mathrm df_2 = \frac{\partial f}{\partial y}\left . \right |_{(x+\mathrm d x,y)}\mathrm d y \label{6.23}\tag{6.23} $$

函数总的增量:

$$ \mathrm df=\mathrm df_1+\mathrm df_2 = \frac{\partial f}{\partial x}\left . \right |_{(x,y)}\mathrm d x + \frac{\partial f}{\partial y}\left . \right |_{(x+\mathrm d x,y)}\mathrm d y \label{6.24}\tag{6.24} $$

这里需要求函数在$(x+\mathrm d x,y)$点处对$y$的偏导数。偏导数本身也是关于$x$和$y$的函数,因此有:

$$ \frac{\partial f}{\partial y}\left . \right |_{(x+\mathrm d x,y)}=\frac{\partial f}{\partial y}\left . \right |_{(x,y)}+\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)\mathrm dx=\frac{\partial f}{\partial y}\left . \right |_{(x,y)}+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\mathrm dx \label{6.25}\tag{6.25} $$

代入\eqref{6.24}式,得:

$$ \mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x}\left . \right |_{(x,y)}\mathrm d x + \frac{\partial f}{\partial y}\left . \right |_{(x,y)}\mathrm d y+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\mathrm dx\mathrm d y \label{6.26}\tag{6.26} $$

从点$(x,y)$变动到点$(x+\mathrm d x,y+\mathrm dy)$,还有另一种实现方式,即从点$(x,y)$先变动到点$(x,y+\mathrm d y)$,再变动到$(x+\mathrm d x,y+\mathrm dy)$,仿前述过程,可再次计算得到函数的增量。两次所得函数增量相等,于是有:

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\mathrm dx\mathrm d y = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\mathrm dy\mathrm d x \label{6.27}\tag{6.27} $$

于是得\eqref{6.19}式。

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