耶鲁基础物理6.1微积分复习



图6.1 当$x$变化了$\Delta x$,函数的增量$\Delta f$可近似为 $\Delta f\approx f'(x)\Delta x$,$f'(x)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}$。实线为原来的函数,虚线为斜率为$f'(x)$的直线的线性近似。

本节简要介绍下微积分,为后面要讲的东西做一些数学准备。

如图6.1所示的函数$f(x)$,任取一点x,函数值为$f(x)$,再取$x$附近的点$x+\Delta x$,函数值的增量为$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$。为清楚显示这些增量,图上做了夸大。

我们后面要讨论$\Delta x\to 0$时,函数增量的近似值。一个常见的近似是假设函数是线性的,在这点的斜率是$f'(x)=\frac{df}{dx}$,如图中虚线所示,$f$沿这条线的增量是$f'(x)\Delta x$。由于你所用的直线并不跟着函数曲线弯曲,所以,$f'(x)\Delta x$与实际的$\Delta f$存在一个非常小的偏差,下面举一个具体的例子。

$$ \begin{align} f(x)=&x^2 \label{6.1}\tag{6.1} \\ f(x+\Delta x)=&x^2+2x\Delta x +(\Delta x)^2 \label{6.2}\tag{6.2} \\ \Delta f=&2x\Delta x +(\Delta x)^2 \label{6.3}\tag{6.3} \\ \Delta f=&f'(x)\Delta x +(\Delta x)^2 \label{6.4}\tag{6.4} \end{align} $$

无论$\Delta x$的值有多大,这个结论都是成立的。可以看出,精确的增量是$f'(x)\Delta x$加上$(\Delta x)^2$。如果$\Delta x$非常小,可以开始忽略除了$\Delta x$线性项以外的所有项,

$$ \Delta f=f'(x)\Delta x +O(\Delta x)^2 \label{6.5}\tag{6.5} $$

其中$O(\Delta x)^2$表示$(\Delta x)^2$或更高次的项。

对于很小的$\Delta x$,通常我们可以采用这样的近似:

$$ \Delta f\approx f'(x)\Delta x \label{6.6}\tag{6.6} $$

例如,考虑$f(x)=(1+x)^n$在$x=0$附近的值,显然$f(0)=1$。假设你要求的是这个函数在与原点非常接近的点$x$处的值。在这种情况下,$\Delta x=x-0$就是$x$本身,所求的近似值为:

$$ f(x)=f(0)+f'(0)x+\cdots=1+n(1+x)^{n-1}|_{x=0}+\cdots=1+nx+\cdots \label{6.7}\tag{6.7} $$

这是一个很常用的结果。

在有些情况下,我们在最后取$\Delta x \to 0$的极限,有下式:

$$ \mathrm d f = f'(x)\mathrm dx \label{6.8}\tag{6.8} $$

等式两边积分,得

$$ \int_{f_1}^{f_2}\mathrm d f = f(x_2)-f(x_1) = \int_{x_1}^{x_2}f'(x)\mathrm dx \label{6.9}\tag{6.9} $$

标签: 微积分

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