耶鲁基础物理1.6运用微积分推导$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$

我们用另一种方法推导(1.19)式，$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$。

我们从下式开始：

$$ \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=a \label{1.31}\tag{1.31} $$

上式两边乘以$v$，得

$$ v\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=av=a\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \label{1.32}\tag{1.32} $$

现在，我要做一件你们可能会质疑的事情：消去等式两边的$\mathrm dt$，得

$$ v\mathrm dv=a\mathrm dx \label{1.33}\tag{1.33} $$

下面，我们解释一下这个式子。

在无限小时间间隔$[t,t+\mathrm dt]$内，变量$v$和$x$的增量分别为$\mathrm dv$和$\mathrm dx$，这些增量$\mathrm dt$、$\mathrm dv$、$\mathrm dx$均趋近于$0$的极限情况下，满足式\eqref{1.33}式。那么\eqref{1.33}式岂不是化为$0=0$。

如何解读和运用\eqref{1.33}式？

在一个有限的时间间隔$[t_1,t_2]$内，变量$v$从$v_1$变为$v_2$，$x$从$x_1$变为$x_2$。我们把$[t_1,t_2]$等分成$N$个宽度为$\mathrm dt$的子区间，$N$是非常非常大的。设在时间间隔$[t,t+\mathrm dt]$内，$v$和$x$的增量分别为$\mathrm dv$和$\mathrm dx$，它们之间的关系满足\eqref{1.33}式。当$N\to \infty$时，如果我们将\eqref{1.33}式两边的$N$个增量相加，所得的和会收敛于非零的极限值也就是相应的积分值：

$$ \int_{v_1}^{v_2}v\mathrm dv=\int_{x_1}^{x_2}a\mathrm dx \label{1.34}\tag{1.34} $$

$$ \frac{v_1^2}{2}-\frac{v_2^2}{2}=a(x_2-x_1) \label{1.35}\tag{1.35} $$

因此，为了从类似\eqref{1.33}式那样的式子出发获得有用的等式，要将其两侧在积分限内完成积分运算。

令

$$ v_2=v, \quad v_1=v_0, \quad x_2=x, \quad x_1=x_0 \label{1.36}\tag{1.36} $$

得(1.19)式。