质点碰撞损失多少动能?



《伯克利物理学教程·力学》翻译版封面

《伯克利物理学教程·力学》第6章习题10:

两个质量分别为$m_1$和$m_2$的质点发生正面碰撞,设恢复系数为$r$,证明损失的动能是质心系中动能的$(1-r^2)$倍。

碰撞前$m_1$和$m_2$的速度为$v_1$和$v_2$,碰撞后$m_1$和$m_2$的速度分别为$v'_1$和$v'_2$。根据动量守恒,有

\begin{equation} m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2 \label{momentumcons} \end{equation}

恢复系数为$r$,有

\begin{equation} r=\frac{v'_2-v'_1}{v_1-v_2} \label{r} \end{equation}

由\eqref{momentumcons}、\eqref{r}两式可得,

\begin{equation} \begin{split} &v'_1=\frac{m_1v_1+m_2v_2-m_2r(v_1-v_2)}{m_1+m_2}=v_1-\frac{(1+r)m_2(v_1-v_2)}{m_1+m_2} \\ &v'_2=\frac{m_1v_1+m_2v_2+m_1r(v_1-v_2)}{m_1+m_2}=v_2+\frac{(1+r)m_1(v_1-v_2)}{m_1+m_2} \end{split} \label{v'1v'2} \end{equation}

碰撞过程损失的动能

\begin{equation} \begin{split} \Delta E_{\mathrm k}=&\frac{1}{2}m_1(v_1^2-{v'}_1^2)+\frac{1}{2}m_2(v_2^2-{v'}_2^2)\\ =&\frac{1}{2}m_1\left[2\frac{m_2}{m_1+m_2}(1+r)v_1(v_1-v_2)-\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)^2(1+r)^2(v_1-v_2)^2 \right]\\ &+\frac{1}{2}m_2\left[-2\frac{m_1}{m_1+m_2}(1+r)v_2(v_1-v_2)-\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)^2(1+r)^2(v_1-v_2)^2 \right]\\ =&\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1+r)(v_1-v_2)\left[2v_1-\frac{m_2}{m_1+m_2}(1+r)(v_1-v_2)-2v_2-\frac{m_1}{m_1+m_2}(1+r)(v_1-v_2)\right]\\ =&\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1+r)(v_1-v_2)\left[2(v_1-v_2)-(1+r)(v_1-v_2)\right]\\ =&\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1+r)(v_1-v_2)(1-r)(v_1-v_2)\\ =&\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1-r^2)(v_1-v_2)^2 \end{split} \label{deltaEk} \end{equation}

质心速度

\begin{equation} V=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1v'_1+m_2v'_2}{m_1+m_2} \label{V} \end{equation}

在质心系中,碰撞前动能

\begin{equation} E_{\mathrm{cm,k}}=\frac{1}{2}m_1(v_1-V)^2+\frac{1}{2}m_2(v_2-V)^2=\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)^2 \label{Ecmk} \end{equation}

与\eqref{deltaEk}式对比,碰撞过程中损失的动能是质心系中动能的$(1-r^2)$倍。

标签: 动量守恒定律, 碰撞

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