带电平面之间的相互作用（无外加盐）

如上图所示，两相同带电平面，分别位于$z=\pm d/2$处，带电密度为$\sigma$，相距为$d$，无外加盐时两平面之间压强怎么计算？

电势$\psi$满足泊松-玻尔兹曼方程

\begin{equation} \frac{d^2\psi}{dz^2}=-\frac{4\pi en_0}{\varepsilon}\exp\left(-\frac{e\psi}{k_BT} \right) \label{P1} \end{equation}

这里$n_0$为零电势点处反离子密度。

边界条件

\begin{equation} \begin{split} \psi'(0)=&0 \\ \psi'(d/2)=&4\pi \sigma/\varepsilon \end{split} \label{BC1} \end{equation}

方程的解为：

\begin{equation} \psi(z)=\frac{k_BT}{e}\ln\left(\cos^2 Kz \right) \label{psi1} \end{equation}

其中$K$为待定参数。

反离子分布

\begin{equation} n(z)=n_0\exp\left(-\frac{e\psi}{k_BT} \right)=\frac{n_0}{\cos^2 Kz} \label{n1} \end{equation}

代入边界条件，得

\begin{equation} \psi'(d/2)=-\frac{2k_BT}{e}K\tan(Kd/2)=4\pi \sigma/\varepsilon \label{Kb1} \end{equation}

反离子归一化条件

\begin{equation} \int_0^{d/2}n(z)dz=n_0\int_0^{d/2}\frac{dz}{\cos^2 Kz}=\frac{n_0}{K}\tan\frac{Kd}{2}=-\sigma/e \label{n0} \end{equation}

由\eqref{Kb1}、\eqref{n0}两式得，

\begin{equation} K^2=\frac{2\pi e^2}{\varepsilon k_BT}n_0 \label{K2} \end{equation}

\begin{equation} Kd\tan(Kd/2)=-\frac{2\pi \sigma e}{\varepsilon k_BT}d=\frac{d}{b} \label{Kdb} \end{equation}

这里$b=-\varepsilon k_BT/(2\pi \sigma e)$为古依-查普曼长度。

膜之间压强

\begin{equation} P(d)=k_BTn_0=\frac{\varepsilon (k_BT)^2}{2\pi e^2}K^2=\frac{k_BT}{2\pi l_B}K^2 \label{Pressure} \end{equation}

两个极限情况。

i. $d/b\ll 1$，即弱带电表面，此时，$K\approx \frac{2}{bd}$，压强

\begin{equation} P(d)=k_BTn_0=\frac{\varepsilon (k_BT)^2}{2\pi e^2}K^2\approx \frac{k_BT}{\pi l_Bb}\frac{1}{d} \label{idealgas} \end{equation}

类似理想气体。可以看出，反离子几乎均匀分布。体系这种状态称为理想气体态。

ii. $d/b\gg 1$，即强带电表面，此时，$Kd\approx \pi$，压强

\begin{equation} P(d)=k_BTn_0=\frac{\varepsilon (k_BT)^2}{2\pi e^2}K^2\approx \frac{\pi k_BT}{l_B}\frac{1}{d^2} \label{GY} \end{equation}

体系这种状态称为古依-查普曼（Gouy-Chapman）态。