n维高斯积分

前一篇博客文章讨论的是单变量高斯积分,这里讨论变量为 $n$ 维矢量 $\vec{x}$ 的情形。

设 $\vec{x}$ 为列向量。$n$ 维高斯积分形式为:

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{x}^TA\vec{x}\right)dx_1dx_2\cdots dx_n \label{nGaussian} \end{equation}

其中 $A$ 为对称非奇异 $n\times n$ 矩阵。

设 $A$ 本征值为 $d_1, d_2, \cdots, d_n$,将 $A$ 对角化:

\begin{equation} S^{-1}AS= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 &0 & \cdots\\ 0 & \lambda_2 &0 & \dots \\ 0 & 0 & \lambda_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \end{bmatrix} \label{diagA} \end{equation}

其中 $\lambda_1$、$\lambda_2$、$\dots$ 为矩阵 $A$ 的本征值。矩阵 $S$ 的行列式值$\mathrm {det}S=1$。

将 \eqref{diagA} 取逆,得

\begin{equation} S^{-1}A^{-1}S= \begin{bmatrix} 1/\lambda_1 & 0 &0 & \cdots\\ 0 & 1/\lambda_2 &0 & \dots \\ 0 & 0 & 1/\lambda_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \label{diagAins} \end{equation}

做变量替换:

\begin{equation} \vec{x}=S\vec{y} \label{x-y} \end{equation}

\begin{equation} dx_1dx_2\cdots dx_n=\mathrm {det}Sdy_1dy_2\cdots dy_n=dy_1dy_2\cdots dy_n \label{dx-dy} \end{equation}

于是,积分\eqref{nGaussian}变为

\begin{equation} \begin{split} &\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{x}^TA\vec{x}\right)dx_1dx_2\cdots dx_n \\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^TS^{-1}AS\vec{y}\right)dy_1dy_2\cdots dy_n \\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}(\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots +\lambda_ny_n^2)\right]dy_1dy_2\cdots dy_n \\ =&\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_1}}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_2}}\cdots\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_n}}=\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt {\mathrm{det}A}} \end{split} \label{yGaussian} \end{equation}

如果指数函数里还有一个线性项,即如下形式积分:

\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{x}^TA\vec{x}+\vec{J}^T\vec{x}\right)dx_1dx_2\cdots dx_n \label{nGaussianJ} \end{equation}

应用变量替换 \eqref{x-y} 和 \eqref{dx-dy} 式,计算上式,

\begin{equation} \begin{split} &\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{x}^TA\vec{x}+\vec{J}^T\vec{x}\right)dx_1dx_2\cdots dx_n \\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^TS^{-1}AS\vec{y}+\vec{J}^TS\vec{y}\right)dy_1dy_2\cdots dy_n \\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\lambda_jy_j^2+J_i^TS_{ij}y_j\right)dy_1dy_2\cdots dy_n \\ =&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2}\lambda_j\left(y_j-\frac{J_i^TS_{ij}}{\lambda_j} \right)^2+\frac{(J_i^TS_{ij})^2}{2\lambda_j}\right]dy_1dy_2\cdots dy_n \\ =&\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt {\mathrm{det}A}}\exp\left[\frac{(J_i^TS_{ij})^2}{2\lambda_j}\right]\\ =&\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt {\mathrm{det}A}}\exp\left[\frac{J_i^TS_{ij}(J_kS_{kj})^T}{2\lambda_j}\right] \\ =&\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt {\mathrm{det}A}}\exp\left[\frac{J_i^TS_{ij}S_{kj}^{-1}J_k}{2\lambda_j}\right]\\ =&\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt {\mathrm{det}A}}\exp\left[\frac{J_i^TS_{ij}S_{kj}^{-1}J_k}{2\lambda_j}\right]\\ =&\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt {\mathrm{det}A}}\exp\left[\frac{1}{2}J_i^TS_{ij}S_{jm}^{-1}A_{mn}^{-1}S_{nj}S_{kj}^{-1}J_k\right]\\ =&\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt {\mathrm{det}A}}\exp\left[\frac{1}{2}\vec{J}^TSS^{-1}A^{-1}SS^{-1}J\right]\\ =&\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt {\mathrm{det}A}}\exp\left[\frac{1}{2}\vec{J}^TA^{-1}J\right] \end{split} \label{yGaussianJ} \end{equation}

以上推导中采用了爱因斯坦求和约定。最后三个等号用到了 \eqref{diagAins}式。

标签: 爱因斯坦求和约定, 高斯积分, 对角化

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