单变量高斯积分




基本结果

计算

\begin{equation*} I(a)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{a}{2}x^2}dx \end{equation*}

先计算 $I(2)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$。

计算高斯积分,将上式平方,

\begin{equation*} I(2)^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \end{equation*}

计算上式,有两种方法。

  1. 极坐标方法

\begin{equation*} \begin{split} I(2)^2=&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \\\\ =&\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2}rdrd\theta \\\\ =&\pi \end{split} \end{equation*}

因此

\begin{equation*} I(2)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} \end{equation*}

  1. 笛卡尔坐标方法

令 $y=xs$, 则 $dy=sdx$

$s$ 积分限依赖于 $x$ 符号,为了方便定$s$ 积分限,可以利用关系 $I(2)=2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx$

\begin{equation*} \begin{split} I(2)^2=&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \\\\ =&4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \\\\ =&4\int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dy\right )dx \\\\ =&4\int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\infty}e^{-x^2(1+s^2)}xds\right )dx \\\\ =&4\int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\infty}e^{-x^2(1+s^2)}xdx\right )ds \\\\ =& 2\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+s^2} ds \\\\ =&\pi \end{split} \end{equation*}

易知

\begin{equation*} I(a)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{a}{2}x^2}dx=\sqrt{\frac{2\pi}{a}} \end{equation*}

指数函数再乘上一个幂函数

计算

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}x^m e^{-\frac{a}{2}x^2}dx, m 为正整数 \end{equation*}

如果 $m$ 为奇数,则积分为 0,因为被积函数为奇函数。

$m=2$ 时的结果可由将 $I$ 对 $a$ 求导得到,

\begin{equation*} \frac{dI(a)}{da}=-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-\frac{a}{2}x^2}dx=-\frac{\sqrt{2\pi}}{2}a^{-3/2} \end{equation*}

于是得

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-\frac{a}{2}x^2}dx=\sqrt{2\pi} a^{-3/2} \end{equation*}

再次对 $a$ 求导,可得$m=4$ 时的结果。最终,我们可得

\begin{equation*} \begin{split} \int_{-\infty}^{\infty}x^{2n}e^{-\frac{a}{2}x^2}dx=&(2n-1)!!\sqrt{2\pi} a^{-(2n+1)/2} \\\\ =&\frac{(2n-1)!!}{a^n}\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\\\\ =&\frac{(2n)!}{a^n2^nn!}\sqrt{\frac{2\pi}{a}} \end{split} \end{equation*}

指数函数里加上一个线性项

\begin{equation*} \begin{split} S(J)=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{a}{2}x^2+Jx}dx \\\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{a}{2}(x-J/a)^2+J^2/(2a)}dx \\\\ =&e^{J^2/(2a)}\sqrt{\frac{2\pi}{a}} \end{split} \end{equation*}

还可以计算积分

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}x^m e^{-\frac{a}{2}x^2+Jx}dx \end{equation*}

由 $S(J)$ 对 $J$ 求导得到,比如

\begin{equation*} \frac{dS(J)}{dJ}=\int_{-\infty}^{\infty}x e^{-\frac{a}{2}x^2+Jx}dx=\frac{J}{a}e^{J^2/(2a)}\sqrt{\frac{2\pi}{a}} \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{d^2S(J)}{dJ^2}=\int_{-\infty}^{\infty}x^2 e^{-\frac{a}{2}x^2+Jx}dx=\frac{1}{a}\left(1+\frac{J^2}{a}\right )e^{J^2/(2a)}\sqrt{\frac{2\pi}{a}} \end{equation*}

标签: 高斯积分

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