两带电球面之间的静电力

两带电球面非均匀带电,但电荷密度具有轴对称性。如何计算其静电力?

两个带电球面,如图放置,球 1 半径为 $R_1$,中心位于坐标原点,球 2 半径为 $R_2$,中心到距离球 1 中心距离为 $d$,沿两个球心建立 $z$轴。两球上电荷密度关于 $z$ 轴对称。以球 1 和 2 中心为坐标原点分别建立球坐标系 $S_1$ 和 $S_2$,极轴为 $z$ 轴。在球 1 上任选一点 $\vec{x}_1$,在坐标系 $S_1$ 中坐标为 $(R_1,\theta_1,\phi_1)$,球 2 上任选一点 $\vec{x}_2$,在坐标系 $S_1$ 中坐标为 $(r,\theta_2,\phi_2)$,在坐标系 $S_2$ 中坐标为 $(R_2,\Theta,\Phi)$。这两点的距离为

\begin{equation} \begin{split} |\vec{x}_2-\vec{x}_1|=&\sqrt{(r\sin\theta_2\cos\phi_2-R_1\sin\theta_1\cos\phi_1)^2+(r\sin\theta_2\sin\phi_2-R_1\sin\theta_1\sin\phi_1)^2+(r\cos\theta_2-R_1\cos\theta_1)^2}\\\\ =&\sqrt{r^2+R_1^2-2rR_1[\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_2-\phi_1)]} \end{split} \label{distance} \end{equation}

球 1 在球 2 上 $\vec{x}_2$处电势为

\begin{equation}
\begin{split}
V=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{\pi}\sigma_1(\theta_1)R_1^2\sin\theta_1d\theta_1\int_0^{2\pi}\frac{d\phi_1}{\sqrt{r^2+R_1^2-2rR_1[\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_2-\phi_1)]}}\\
=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{\pi}\sigma_1(\theta_1)\sin\theta_1R_1^2d\theta_1g(\theta_1,\theta_2)
\end{split}
\label{V}
\end{equation}

下面处理 $g(\theta_1,\theta_2)$。

\begin{equation} \begin{split} g(\theta_1,\theta_2)=&\int_0^{2\pi}\frac{d\phi_1}{\sqrt{r^2+R_1^2-2rR_1[\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_2-\phi_1)]}}\\\\ =&\int_0^{2\pi}d\phi_2\sum_{l=0}^{\infty}\frac{R_1^l}{r^{l+1}}\left [P_l(\cos\theta_1)P_l(\cos\theta_2)+2\sum_{m=1}^l\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(\cos\theta_1)P_l^m(\cos\theta_2)\cos m(\phi_2-\phi_1) \right ]\\\\ =&2\pi\sum_{l=0}^{\infty}\frac{R_1^l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta_1)P_l(\cos\theta_2) \end{split} \label{g} \end{equation}

第二个等号来自连带勒让德函数加法公式,参考吴崇试《数学物理方法》16.10。

\begin{equation} \begin{split} -\frac{dg}{dz}=&-2\pi\left [\cos\theta_2\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\sin^2\theta_2}{r^2}\frac{\partial}{\partial\cos\theta_2} \right ]\sum_{l=0}^{\infty}\frac{R_1^l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta_1)P_l(\cos\theta_2) \\\\ =&-2\pi \sum_{l=0}^{\infty}\left [-\cos\theta_2P_l(\cos\theta_2)\frac{l+1}{r^{l+2}}-\frac{\cos^2\theta_2-1}{r^{l+2}}\frac{\partial}{\partial\cos\theta_2}P_l(\cos\theta_2) \right ]R_1^lP_l(\cos\theta_1) \\\\ =&2\pi \sum_{l=0}^{\infty}\frac{l+1}{r^{l+2}}R_1^lP_l(\cos\theta_1)P_{l+1}(\cos\theta_2) \\\\ =&2\pi\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(l+k+1)!}{(l+1)!k!}\frac{R_1^lR_2^k}{d^{l+k+2}}(-1)^kP_k(\cos\Theta)P_l(\cos\theta_1) \end{split} \end{equation}

第三个等号用到勒让德多项式递推公式 (9),最后一个等号用到勒让德多项式再展开

根据对称性,两球之间的作用力沿 $z$ 轴,即为

\begin{equation} \begin{split} F=&-\int_0^{\pi}\sigma_2(\Theta)R_2^2\sin\Theta d\Theta\int_0^{2\pi}d\phi_2 \frac{dV}{dz} \\\\ =& -2\pi\int_0^{\pi}\sigma_2(\Theta)R_2^2\sin\Theta d\Theta \frac{dV}{dz} \\\\ =& \frac{R_1^2R_2^2}{2\varepsilon_0}\int_0^{\pi}\sigma_1(\theta_1)\sin\theta_1d\theta_1\int_0^{\pi}\sigma_2(\Theta)\sin\Theta d\Theta \frac{dg(\theta_1,\theta_2)}{dz} \\\\ =& \frac{\pi R_1^2R_2^2}{\varepsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(l+k+1)!}{(l+1)!k!}\frac{R_1^lR_2^k}{d^{l+k+2}}\\\\ & \int_0^{\pi}\sigma_1(\theta_1)\sin\theta_1 P_l(\cos\theta_1) d\theta_1 \\\\ &\int_0^{\pi}\sigma_2(\Theta)\sin\Theta (-1)^k P_k(\cos\Theta) d\Theta \end{split} \label{Fe} \end{equation}

标签: 对称性, 电势, 勒让德多项式

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