推导 Hubbard-Stratonovich 变换



Nigel Goldenfeld

伊利诺伊大学Goldenfeld 教授的《相变与重整化群》课程的习题习题4.2,证明恒等式:

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dx_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}x_iA_{ij}x_j+x_iB_i \right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm {det} A}}e^{\frac{1}{2}B_i(A^{-1})_{ij}B_j} \end{equation*}

式中采用了爱因斯坦求和约定。矩阵 $A$ 为对称正定矩阵,$B$ 为任意矢量。

这其实就是Hubbard-Stratonovich 变换,H-S变换其实就是多变量高斯积分

证明:

可以把 $e$ 指数里的项写成矩阵形式。

令 $y_i=x_i-(A^{-1})_{ij}B_j$,$X^{\mathrm T}=(x_1,x_2,\cdots,x_N)^{\mathrm T}$,$Y^{\mathrm T}=(y_1,y_2,\cdots,y_N)^{\mathrm T}$。

下面开始推导。

\begin{equation*} \begin{split} &\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dx_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}x_iA_{ij}x_j+x_iB_i \right)\\ \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dx_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}(Y+A^{-1}B)^{\mathrm T}A(Y+A^{-1}B)+(Y+A^{-1}B)^{\mathrm T}B \right)\\ \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dy_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}(Y^{\mathrm T}AY+Y^{\mathrm T}AA^{-1}B+B^{\mathrm T}A^{-1}AY+B^{\mathrm T}A^{-1}AA^{-1}B)+Y^{\mathrm T}B+B^{\mathrm T}A^{-1}B \right)\\ \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dy_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}(Y^{\mathrm T}AY+Y^{\mathrm T}B+B^{\mathrm T}Y+B^{\mathrm T}A^{-1}B)+Y^{\mathrm T}B+B^{\mathrm T}A^{-1}B \right)\\ \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dy_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}(Y^{\mathrm T}AY)+\frac{1}{2}B^{\mathrm T}A^{-1}B \right)\\ \\ &=e^{B^{\mathrm T}A^{-1}B/2}\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dy_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}(Y^{\mathrm T}AY) \right)\\ \\ &=e^{B^{\mathrm T}A^{-1}B/2}\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dy_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}(A^{1/2}Y)^{\mathrm T}(A^{1/2}Y) \right)\\ \\ &=e^{B^{\mathrm T}A^{-1}B/2}\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dy_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}Z^{\mathrm T}Z \right)\\ \\ &=e^{B^{\mathrm T}A^{-1}B/2}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}(A)}}\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dz_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}Z^{\mathrm T}Z \right)\\ \\ &=\frac{e^{B^{\mathrm T}A^{-1}B/2}}{\sqrt{\mathrm{det}(A)}}\int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dz_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}Z^{\mathrm T}Z \right)\\ \\ &=\frac{e^{B^{\mathrm T}A^{-1}B/2}}{\sqrt{\mathrm{det}(A)}}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{z^2}{2}}dz\right )^N\\ \\ &=\frac{e^{B^{\mathrm T}A^{-1}B/2}}{\sqrt{\mathrm{det}(A)}}\\ \\ &=\frac{e^{B_i(A^{-1})_{ij}B_j/2}}{\sqrt{\mathrm{det}(A)}} \end{split} \end{equation*}

推导过程中出现行列式,其实就是雅克比矩阵的行列式。倒数第三式,用到了高斯积分。

标签: hubbard-stratonovich 变换, 高斯积分

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