两个状态方程,哪个更合理?

《现代统计力学导论》第一章练习 1.1, 1.2,1.4



1.1 列出一些两种能量流动形式的熟悉例子(例如,冰融化的两种方式——搅拌或太阳晒)。

解答:
冬天暖手:搓手或捧热水杯。
热水器:电热水器或燃气热水器

1.2 一根橡皮带的状态方程是

\begin{equation*} S=L_0\gamma \left( \frac{\theta E}{L_0} \right)^{1/2} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

\begin{equation*} S=L_0\gamma e^{\theta nE/L_0} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

其中 $\gamma$、$l_0$、$\theta$ 都是常数,$n$ 是物质的量,$L$ 是橡皮带的长度,$S$ 是熵,$E$ 是能量。问上面两个方程哪个更符合实际?为什么?对于所选的状态方程,导出张力 $f$ 对温度 $T$ 和 $L/n$ 的依赖关系,即确定 $f(T,L/n)$。

解答:

熵是广延量,即如果 $E$、$n$、$L$ 都扩大 $\lambda$ 倍,则熵也扩大 $\lambda$ 倍,即 $S(\lambda E,\lambda n,\lambda L)=\lambda S(E, n, L)$,显然第一个状态方程满足此条件。

张力为

\begin{equation*} -\frac{f}{T}=\frac{\partial S}{\partial L}\Big |_{E,n}=-L_0\gamma\left( \frac{L}{L_0^2}-\frac{L_0}{L^2}\right) \end{equation*}

\begin{equation*} f=T\gamma \frac{L}{L_0} \left( 1-\frac{L_0^3}{L^3}\right) \end{equation*}

1.4 假设你有两块橡皮带,每一块都满足练习 1.2 中所研究的状态方程。第一块的温度、摩尔长度、和物质的量分别为 $T^{(1)}$、$l^{(1)}$和$n^{(1)}$,同样第二块相应的是$T^{(2)}$、$l^{(2)}$和$n^{(2)}$。如果它们保持在恒定长度,且彼此热接触,试确定这两块橡皮带最后的能量和温度(作为这些初始热力学性质的函数)。忽略与环境的热对流和质量流。

解答:

对于练习 1.2 中的状态方程,有

\begin{equation*} \frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}\Big |_{L,n}=\frac{\gamma}{2}\sqrt{\frac{L_0\theta}{E}} \end{equation*}

\begin{equation*} E=\frac{T^2\gamma^2nl_0\theta}{4} \end{equation*}

体系能量不变,能量即为初始态能量为

\begin{equation*} E=\left[(T^{(1)})^2n^{(1)}+(T^{(2)})^2n^{(2)}\right]\frac{\gamma^2l_0\theta}{4} \end{equation*}

设末态温度为 $T$,能量为

\begin{equation*} E=\frac{T^2\gamma^2(n^{(1)}+n^{(2)})l_0\theta}{4}=\left[(T^{(1)})^2n^{(1)}+(T^{(2)})^2n^{(2)}\right]\frac{\gamma^2l_0\theta}{4} \end{equation*}

得温度为

\begin{equation*} T=\left\{\frac{\left[(T^{(1)})^2n^{(1)}+(T^{(2)})^2n^{(2)}\right]}{n^{(1)}+n^{(2)}}\right \}^{1/2} \end{equation*}

标签: , introduction to modern statistical mechanics, 状态方程

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