两个状态方程,哪个更合理?

《现代统计力学导论》第一章练习 1.1, 1.2

1.1 列出一些两种能量流动形式的熟悉例子(例如,冰融化的两种方式——搅拌或太阳晒)。

解答:
冬天暖手:搓手或捧热水杯。
热水器:电热水器或燃气热水器

1.2 一根橡皮带的状态方程是

\begin{equation*} S=L_0\gamma \left( \frac{\theta E}{L_0} \right)^{1/2} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

\begin{equation*} S=L_0\gamma e^{\theta nE/L_0} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

其中 $\gamma$、$l_0$、$\theta$ 都是常数,$n$ 是物质的量,$L$ 是橡皮带的长度,$S$ 是熵,$E$ 是能量。问上面两个方程哪个更符合实际?为什么?对于所选的状态方程,导出张力 $f$ 对温度 $T$ 和 $L/n$ 的依赖关系,即确定 $f(T,L/n)$。

解答:

熵是广延量,即如果 $E$、$n$、$L$ 都扩大 $\lambda$ 倍,则熵也扩大 $\lambda$ 倍,即 $S(\lambda E,\lambda n,\lambda L)=\lambda S(E, n, L)$,显然第一个状态方程满足此条件。

张力为

\begin{equation*} -\frac{f}{T}=\frac{\partial S}{\partial L}\Big |_{E,n}=-L_0\gamma\left( \frac{L}{L_0^2}-\frac{L_0}{L^2}\right) \end{equation*}

\begin{equation*} f=T\gamma \frac{L}{L_0} \left( 1-\frac{L_0^3}{L^3}\right) \end{equation*}

标签: , 状态方程

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