球内温度分布

原文链接:Properties of Legendre Polynomials

半径为 $a$ 的球内定态温度分布为 $u(\vec{x})=u(r,\theta)$,满足拉普拉斯方程

\begin{equation}
\nabla^2u=0
\label{laplace}
\end{equation}

控制球表面上温度为

\begin{equation}
u(r=a,\theta)=f(\theta)
\label{boundary}
\end{equation}

球内温度如何分布?

方程\eqref{laplace}的通解为

\begin{equation}
u(r,\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(A_nr^n+\frac{B_n}{r^{n+1}}\right)P_n(\cos\theta)
\label{solution}
\end{equation}

其中 $P_n(\cos\theta)$ 为勒让德多项式

由 $r=0$ 处,$u$ 有限,因此 $B_n=0$。

由 $r=a$ 处边界条件,$u(r=a,\theta)=f(\theta)$ 定出 $A_n$。将 $f(\theta)$ 代入 \eqref{solution} 式,得

\begin{equation}
f(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}A_na^nP_n(\cos\theta)
\label{f}
\end{equation}

根据勒让德多项式正交化条件,

\begin{equation}
\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)\mathrm dx=\int_{0}^{\pi}P_m(\cos\theta)P_n(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d\theta=\frac{2}{2n+1}\delta_{m,n}
\label{orthogonalit}
\end{equation}

在 \eqref{f} 两边乘以 $\sin\theta P_m(\cos\theta)$,并对 $\theta$ 积分,得

\begin{equation}
\int_{0}^{\pi}f(\theta)\sin\theta P_m(\cos\theta)\mathrm d\theta=\sum_{n=0}^{\infty}A_na^n\int_{0}^{\pi}P_m(\cos\theta)P_n(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d\theta=\frac{2a^mA_m}{2m+1}
\label{An}
\end{equation}

于是

\begin{equation}
u(r,\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+1}{2}\left(\frac{r}{a}\right)^nP_n(\cos\theta)\int_{0}^{\pi}f(\nu)\sin\nu P_n(\cos\nu)\mathrm d\nu
\label{u}
\end{equation}

如果北半球为高温,南半球为低温,不妨设

\begin{equation*} f(\theta)= \begin{cases} 1, & 0\le \theta \le \pi/2 \\ 0, & \pi/2\le \theta \le \pi \end{cases} \end{equation*}

则 \eqref{u} 式中的积分为

\begin{equation*} \int_{0}^{\pi}f(\nu)\sin\nu P_n(\cos\nu)\mathrm d\nu=\int_0^1P_n(x)\mathrm dx=\frac{P_{n-1}(0)-P_{n+1}(0)}{2n+1} \end{equation*}

\begin{equation*} \int_0^1P_0(x)\mathrm dx=0 \end{equation*}

因此,\eqref{u} 式为

\begin{equation} \begin{split} u(r,\theta)=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^nP_n(\cos\theta)\left(P_{n-1}(0)-P_{n+1}(0)\right)\\ =&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^{2m+1}P_{2m+1}(\cos\theta)\left(P_{2m}(0)-P_{2(m+1)}(0)\right)\\ =&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^{2m+1}P_{2m+1}(\cos\theta)(-1)^m\frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}\left(1+\frac{2m+1}{2m+2}\right) \end{split} \label{us} \end{equation}

上式中第二个等号,用到了这一知识:奇数阶勒让德多项式是奇函数,在原点处必为0,$P_{2m\pm 1}(0)=0$。

上式中第三个等号,用到了如下关系:

\begin{equation*} \begin{split} P_{2m}(0)-P_{2(m+1)}(0)=&(-1)^m\frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}-(-1)^{m+1}\frac{(2m+2)!}{2^{2m+2}((m+1)!)^2}\\ =&(-1)^m\frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}\left(1+\frac{2m+1}{2m+2}\right) \end{split} \end{equation*}

下面讨论对称轴上温度分布。

对称轴对应于 $\cos\theta=\pm 1$,$P_{2m+1}(\pm 1)=\pm 1$,正号对应于正半轴,$\theta=0$,负号对应于负半轴,$\theta=\pi$。

由 \eqref{us}式,对称轴上温度分布为

\begin{equation*} u(r)=\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^{2m+1}(-1)^m\frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2}\left(1+\frac{2m+1}{2m+2}\right) \end{equation*}

易验证,此级数解收敛很慢。

由 \eqref{us}式右边第二个等号,

\begin{equation} \begin{split} u(r)=&\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^{2m+1}\left(P_{2m}(0)-P_{2(m+1)}(0)\right)\\ =&\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\frac{r}{a}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^{2m}\left(P_{2m}(0)-P_{2(m+1)}(0)\right)\\ =&\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\frac{r}{a}\left[\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^{2m}P_{2m}(0)-\left(\frac{r}{a}\right)^{-2}\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^{2m+2}P_{2(m+1)}(0)+\left(\frac{r}{a}\right)^{-2}\right]\\ =&\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\frac{r}{a}\left[\frac{1}{\sqrt{1+(r/a)^2}}-\frac{1}{(r/a)^2\sqrt{1+(r/a)^2}}+\frac{1}{(r/a)^2}\right] \end{split} \label{ur} \end{equation}

标签: 拉普拉斯方程, 勒让德多项式

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